2012 大阪府立大学 前期

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2012 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科・環境システム・マネジメント学類

易□ 並□ 難□

【1】 サイコロを n 回ふって,数列 a 1 a2 an を次のように定める.ただし, n3 とする.

(ⅰ)  1 回目に 1 の目が出たときは a 1=0 それ以外の目が出たときは, a1= 1 とする.

k2 のとき,

(ⅱ)  k 回目に 1 の目が出たときは, ak= 0 とする.

(ⅲ)  k 回目に 6 の目が出たときは, ak= ak- 1+k とする.

(ⅳ)  k 回目に 1 6 以外の目が出たときは, ak= ak- 1+ 1 とする.

 自然数 k 1 kn に対して, ak= k となる確率を p k とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  p1 p2 p3 を求めよ.

(2)  pk 2 kn p k-1 を用いて表せ.

(3)  pk 1 k n k の式で表せ.

2012 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科学類

易□ 並□ 難□

【2】  k a を正の定数とする.曲線 C: y= xx+k x0 と直線 x= a および x 軸で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V 1 とする.また,曲線 C と直線 y =a a+k および y 軸で囲まれた図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V 2 とする.このとき,比 V2 V1 を求めよ.

2012 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント学類

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x) = 2x- 12 x+1 について,以下の問いに答えよ.

(1)  f ( 12 ) を求めよ.

(2)  f( 2x )= 2 f (x) 1f (x )2 を示せ.

(3) すべての自然数 n に対して b n=f ( 12n ) は無理数であることを,数学的帰納法を用いて示せ.ただし,有理数 r s を用いて表される実数 r +s 2 s 0 ならば無理数であることを,証明なく用いてもよい.

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知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科学類

易□ 並□ 難□

【3】 行列 A B

A=( a-b -b ba+ b ) B=( -b- bb b)

によって定める.ただし, a b は定数で b 0 とする.行列 A および B で表される 1 次変換をそれぞれ f g とする.また,点 P (1 ,2) g による像を Q とし,点 P を通り,方向ベクトルが OQ である直線を l とする.ただし, O は原点を表す.

(1) 点 Q g による像を求めよ.

(2) 点 P f による像 R が直線 l 上にあれば, a=1 であることを示せ.

(3)  a=1 のとき,直線 l 上のすべての点は f により l 上に移ることを示せ.

2012 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント学類

易□ 並□ 難□

【3】 四面体 OABC に平面 α が辺 OA AB BC OC とそれぞれ P Q R S

OP:PA= AQ:QB= BR:RC= 1:2

を満たすように交わっている. a =OA b =OB c =OC とし, OS =sc とおく.

(1)  PQ PR PS s a b c を用いて表せ.

(2)  s の値を求めよ.

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知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科学類

易□ 並□ 難□

【4】(1) 次の等式

02 π sint cos( x-t) dt= asin x+b cosx

が成り立つような定数 a b の値を求めよ.

(2) 連続な関数 f (x ) 0 でない実数 α

02 π f( t) cos( x-t) dt= αf (x)

を満たしている. f( 0)= f (0) =1 であるとき, α f (x ) を求めよ.

2012 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント学類

易□ 並□ 難□

【4】 実数 t ( 0t 5 2 ) に対し,座表平面上の点 P (2 t-5 ,0) Q (t ,t2 ) を考える.

(1) 放物線 y= x2 0 xt の部分と線分 OP および線分 OQ で囲まれた部分の面積を求めよ.ただし, O は原点を表す.

(2)  t 0 t 52 の範囲を動くとき,(1)で求めた面積の最大値を求めよ.