2012　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　サイコロを$n$回ふって，数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を次のように定める．ただし，$n\geqq 3$とする．

　自然数$k\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$に対して，$a_k=k$となる確率を$p_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$を求めよ．

(2)　$p_k\text{（}2\leqq k\leqq n\text{）}$を$p_{k-1}$を用いて表せ．

(3)　$p_k\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$を$k$の式で表せ．

【２】　$k$と$a$を正の定数とする．曲線$C:y={\displaystyle \frac{x}{x+k}}\text{（}x\geqq 0\text{）}$と直線$x=a$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と直線$y={\displaystyle \frac{a}{a+k}}$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．このとき，比${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2^x-1}{2^x+1}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$を求めよ．

(2)　$f(2x)={\displaystyle \frac{2f(x)}{1{f(x)}^2}}$を示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して$b_n=f\left({\displaystyle \frac{1}{2^n}}\right)$は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数$r\text{，}s$を用いて表される実数$r+s\sqrt{2}$は$s\ne 0$ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．

【３】　行列$A\text{，}B$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a-b& -b\\ b& a+b\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}-b& -b\\ b& b\end{array}\right)$

によって定める．ただし，$a\text{，}b$は定数で$b\ne 0$とする．行列$A$および$B$で表される$1$次変換をそれぞれ$f\text{，}g$とする．また，点$\mathrm{P}(1,2)$の$g$による像を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{P}$を通り，方向ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$である直線を$l$とする．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$g$による像を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の$f$による像$\mathrm{R}$が直線$l$上にあれば，$a=1$であることを示せ．

(3)　$a=1$のとき，直線$l$上のすべての点は$f$により$l$上に移ることを示せ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$に平面$\alpha$が辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{OC}$とそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$で

$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=\mathrm{BR}:\mathrm{RC}=1:2$

を満たすように交わっている．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=s\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PR}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$s\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$s$の値を求めよ．

【４】(1)　次の等式

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\sin t\cos (x-t)dt=a\sin x+b\cos x$

が成り立つような定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　連続な関数$f(x)$と$0$でない実数$\alpha$は

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(t)\cos (x-t)dt=\alpha f(x)$

を満たしている．$f(0)=f^{\prime }(0)=1$であるとき，$\alpha$と$f(x)$を求めよ．

【４】　実数$t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}})$に対し，座標平面上の点$\mathrm{P}(2t-5,0)$と$\mathrm{Q}(t,t^2)$を考える．

(1)　放物線$y=x^2$の$0\leqq x\leqq t$の部分と線分$\mathrm{OP}$および線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$の範囲を動くとき，(1)で求めた面積の最大値を求めよ．