2012　大阪府立大学　中期MathJax

　自然数$28$のすべての約数は$1\text{，}2\text{，}4\text{，}7\text{，}14\text{，}28$であり，その和は$1+2+4+7+14+28=56=2\times 28$となり，$28$の$2$倍である．このように，自然数$m$で，そのすべての約数の和が$2m$となるような$m$を完全数と呼ぶ．以下，$p\text{，}q$は相異なる素数を表すとする．$m=pq$の形の自然数で完全数となるものを探そう．$p\text{，}q$が相異なる素数であるから，$pq$の約数は，$\boxed{\text{(1)}}$の$4$つであり，その和が$2pq$と等しいから，$(\boxed{\text{(2)}})(\boxed{\text{(3)}})=2$となる．$XY=2$となる自然数$X\text{，}Y$は$(X,Y)=(1,2)\text{，}(2,1)$の二組しかないから，$p<q$とすると，$p=\boxed{\text{(4)}}\text{，}q=\boxed{\text{(5)}}$となる．したがって，$pq$の形の完全数は$\boxed{\text{(6)}}$のみということがわかる．

${\displaystyle \frac{1}{2}}r\cos \theta \leqq \sin \theta \leqq 2r\cos \theta$

を満たしながら変化するとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最小値$M$と，そのときの$\mathrm{P}$の座標$(k,l)$を求めよ．ただし，計算の過程は記入しなくてよい．

(1)　$Q_2\text{，}{Q}_3\text{，}{Q}_4$を$p$を用いて表せ．

(2)　$1$回目に表が出た場合と裏が出た場合に分けることによって，$Q_{n+2}$を$Q_n\text{，}{Q}_{n+1}$および$p$を用いて表せ．

(3)　$p={\displaystyle \frac{3}{7}}$のとき，一般項$Q_n$を$n$を用いて表せ．

$f(x)=(x+a)e^{2x^2}$

について，以下の問いに答えよ．ただし，(1)については計算の過程を記入しなくてよい．

(1)　一階導関数$f^{\prime }(x)$はある多項式$g(x)$により

$f^{\prime }(x)=g(x)e^{2x^2}$

と表され，二階導関数$f^{″}(x)$はある多項式$h(x)$により

$f^{″}(x)=h(x)e^{2x^2}$

と表される．$g(x)\text{，}h(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲にあるとする．関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値を$\alpha$とし，極小値をとる$x$の値を$\beta$とする．このとき，$f^{″}(\gamma )=0$となる$\gamma$が$\alpha$と$\beta$の間に存在することを示せ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }x\sin txdx$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{2}{t}\pi }}|x\sin tx|dx$を求めよ．

(3)　定積分$I_k(t)={\displaystyle {\int }_{\frac{k-1}{t}\pi }^{\frac{k}{t}\pi }}|x\sin tx|dx$を，$k$が偶数である場合に求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{2n}{t}}\pi }}|x\sin tx|dx$を求めよ．