2012　奈良県立医科大学　前期医学科MathJax

【１】　実数$p\text{，}q$に対して，$x$の$3$次関数$f_{p,q}(x)$を$f_{p,q}(x)=x^3+px+q$によって定める．実数$p\text{，}q$は，$3$次関数$f_{p,q}(x)$が以下の$3$条件を満たすような範囲を動くとする．

　このとき，定積分

$I(p,q)={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_{p,q}(x)dx$

を最大にするような$p\text{，}q$の値，および$I(p,q)$の最大値を求めよ．

【２】　$n$を$3$以上の整数とし，$n$個の整数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$は以下の$3$条件を満たすとする．

　このとき，不等式

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i\geqq n$

が成り立つことを証明せよ．また，この不等式において等号が成り立つ場合の$n$の値，および$n$個の整数の組$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$をすべて求めよ．

【３】　各成分が$0$以下の整数からなる$2$行$2$列の行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

で，$A^2+A=E$を満たすものをすべて求めよ．（ただし，$E$は単位行列を表す．）

【４】　整数$m$が与えられたとき，$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)\text{，}g(x)$が関係式

$f(x)\equiv g(x)(\mathrm{mod}m)$

を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．

(1)　$f(x)\text{，}g(x)\text{，}F(x)\text{，}G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x)\equiv g(x)(\mathrm{mod}m)\text{，}$かつ$F(x)\equiv G(x)(\mathrm{mod}m)$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x)\equiv g(x)+G(x)(\mathrm{mod}m)\text{，}$かつ$f(x)F(x)=g(x)G(x)(\mathrm{mod}m)$が満たされることを証明せよ．

(2)　正整数$p\text{（}>1\text{）}$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数${}_{p}C_i$は$p$の倍数であることを証明せよ．

(3)　正整数$p\text{（}>1\text{）}$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式

${(1+x)}^{p^n}\equiv 1+x^{p^n}(\mathrm{mod}p)$

が満たされることを証明せよ．

(4)　正整数$p\text{（}>1\text{）}$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数${}_{n}C_i\text{（}1\leqq i\leqq n-1\text{）}$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．