【4】 整数が与えられたとき,に関する整数係数のつの整式が関係式
を満たすとは,等式を満たすような整数係数の整式が存在することである.
(1) を整数係数の整式とする.もし,ある整数について関係式かつが満たされるならば,関係式かつが満たされることを証明せよ.
(2) 正整数を素数とする.より小さい任意の正整数に対して二項係数はの倍数であることを証明せよ.
(3) 正整数を素数とする.任意の正整数について,関係式
が満たされることを証明せよ.
(4) 正整数を素数とし,を以上の正整数とする.個の二項係数がすべての倍数であるための必要十分条件は,整数が素数の正べきである(すなわち,適当な正整数を用いてと表せる)ことを証明せよ.