2012 和歌山県立医科大学 前期

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2012 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=cos x3-2 x2 -4x +53 - 1x 3 における増減表を作り,最大値と最小値,およびそれらをとる x の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 区間 [ -1,1 ] で,曲線 y =| x| e |x | と直線 l y=a 0a e の間にある部分の面積を S とする.

(1) 曲線 y =xe x x0 l の交点の x 座標を t とし, S t の式で表せ.

(2)  S の最大値と最小値,およびそれらをとる a の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  A B 2 人が袋の中から玉を 1 つずつ交互に取り出すゲームを考える.最初に玉を取り出すのは A で,また A B はともに取り出した玉を袋に戻さない.

(1) 初め袋の中には白玉が ( 2n- 2) 個( n 1 ),赤玉が 2 個入っているとする. 2 つ目の赤玉を取り出した方を勝ちとして終了するとき, A が勝つ確率を求めよ.

(2) 初め袋の中には白玉が ( 2n- 3) 個( n 2 ),赤玉が 2 個,黒玉が 1 個入っているとする.次の(a)と(b)にしたがって勝敗を決めるとき, A が勝つ確率を求めよ.

(a) 一方が黒玉を取り出したときは,他方を勝ちとして終了する.

(b) 一方が 2 つ目の赤玉を取り出したときは,その者を勝ちとして終了する.

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易□ 並□ 難□

【4】 自然数の数列 { an } {b n}

a1 =2 b 1=5 an +1 =an 2+ bn2 b n+1 =2 an bn n= 1 2 3

で定める.このとき,すべての自然数 n に対して, an b n の最大公約数は 1 であることを示せ.