2012　島根県立大学　前期MathJax

2012-11681-0101

2012　島根県立大学　前期

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　 $f (x) = - x^{2} + (a - 8) x + 3 a$ かつ $g (x) = x^{2} - (a - 4) x - a + 24$ （ただし $x ， a$ は実数）とする．いかなる $x$ に対しても $f (x) < g (x)$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ．

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【１】　次の問いに答えよ．

(2)　ある $1$ つの $2$ 次方程式がある．山田さんはこの $2$ 次方程式の $1$ 次の項の係数を読み間違えたために， $x = \frac{3}{2} ， - 1$ という答えを出し，鈴木さんはこの $2$ 次方程式の定数項を読み間違えたために， $x = \frac{3}{2} ， 1$ という答えを出した．このとき，正しい答えを求めよ．

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【１】　次の問いに答えよ．

(3)　 $6 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 3$ を多項式 $B$ で割ると，商が $3 x + 2 ，$ 余りが $- 5 x - 7$ であるとき，多項式 $B$ を求めよ．

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【１】　次の問いに答えよ．

(4)　 $\log_{10} 2 = 0.3010 ， \log_{10} 3 = 0.4771$ とするとき， $12^{100}$ は何桁の整数になるか求めよ．

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【２】　原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上に定点 $A (1, 0)$ をとり，点 $A$ から出発して円周上を反時計回りに動く点 $P$ をとる． $P$ はサイコロを振って出た目の数 $n$ に応じて，原点 $O$ を中心に $(60 ° \times n)$ だけ回転した点である．最初にサイコロを振って定まる点を $P_{1} ，$ そこを次なる出発点として同じ操作を行ってできる点を $P_{2} ，$ さらに $P_{2}$ を出発点として同じ操作をして定まる点を $P_{3}$ とする． $P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ を結んでできる図形について，以下の問いに答えよ．

(1)　正三角形ができる場合のサイコロの目の出方は何通りあるか求めよ．

(2)　直角三角形ができる確率を求めよ．

(3)　 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ を結んでできる図形の面積の期待値を求めよ．

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【３】　 $x y$ 平面上に $▵ ABC$ がある．次の問いに答えよ．

(1)　辺 $AB ，$ 辺 $BC ，$ 辺 $CA$ の中点の座標が，それぞれ $(- 1, a) ， (3, - 2 a) ， (7, - 2 a)$ （ $a$ は実数）であるとき，点 $A ，$ 点 $B ，$ 点 $C$ の座標を求めよ．

(2)　 $3$ 点 $A ， B ， C$ と，もう $1$ つの点 $D$ を結んで平行四辺形を作るとき，点 $D$ の座標を求めよ．

(3)　 ${EA}^{2} + {EB}^{2} + {EC}^{2}$ が最小値となるような点 $E$ の座標と，そのときの最小値と求めよ．

編注：(3)は原文のまま．

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【４】　次の問いに答えよ．

(1)　 $2$ 次関数 $f (x) = 2 x^{2} - 2 a x + 2 b$ の区間 $0 ≦ x ≦ 4$ における最大値が $18 ，$ 最小値が $\frac{11}{2}$ のとき，定数 $a ， b$ の値を求めよ．ただし， $0 < a < 4$ とする．

(2)　上の設問(1)で求めた $2$ 次関数のグラフを放物線 $C$ とし，点 $(4, 0)$ から放物線 $C$ に引いた接線をそれぞれ $l_{1} ， l_{2}$ とする．このとき， $l_{1} ， l_{2}$ の方程式を求めよ．

(3)　放物線 $C$ と接線 $l_{1} ， l_{2}$ で囲まれる図形の面積を求めよ．