2012　岡山県立大学　中期MathJax

【１】〔１〕　$a\geqq b\geqq 0\text{，}c\geqq d\geqq 0\text{，}a\leqq c$とする．

(1)　$a+b\leqq c+d$は必ずしも成立しないことを示せ．

(2)　$ab\leqq cd$ならば，$a+b\leqq c+d$であることを示せ．

(3)　$ab\leqq cd$ならば，$a^7+b^7\leqq c^7+d^7$であることを示せ．

【１】〔２〕　導関数の定義に従って，$f(x)=x^n$を微分せよ．ただし，$n$は整数である．

【２】　$n$を$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号を$1$つずつ書いた$n$枚のカードから無作為に$3$枚のカードを取り出し，取り出したカードのうちもっとも大きい番号を得点とするゲームがある．得点が$k$となる確率を$P_k$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$P_1\text{，}{P}_2\text{，}{P}_3$を求めよ．

(2)　$k$を$3$以上$n$以下の整数とするとき，$P_k$を求めよ．

(3)　得点が$j$以下となる確率を求めよ．ただし，$j$は$n$以下の自然数とする．

(4)　得点$n$が得られるまでゲームを繰り返す．ただし，取り出したカードは毎回元に戻す．このとき，ゲーム回数が$m$以下である確率$Q_m$を求めよ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{Q}_n$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さの和を$L$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とする．$\angle \mathrm{B}=2\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを$r$と$\theta$で表せ．

(2)　$L$を$r$と$\theta$で表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{r}{L}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【４】　$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{2}x\sin nxdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2$を求めよ．

(2)　${\sin }^{2}x\sin nx$を$p\sin nx+q\sin (n+2)x+r\sin (n-2)x$の形に変形したときの定数$p\text{，}q\text{，}r$を求めよ．

(3)　$a_n$を求めよ．

(4)　$n$が奇数のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．