2012　県立広島大学　後期MathJax

【１】　$1$から$100$までの数字を$1$回ずつ書いた$100$枚のカードがある．これらのカードから$1$枚ずつ順に$2$枚を取り出す．

　$1$枚目のカードに書かれた数字を$X\text{，}2$枚目のカードに書かれた数字を$Y$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$2$枚目を取り出すとき，$1$枚目に取り出したカードは戻さないものとする．

(1)　$X$が$Y$よりも大きい確率を求めよ．

(2)　$X$が$Y$の$2$倍以上になる確率を求めよ．

(3)　$X$が$Y$の$3$倍未満になる確率を求めよ．

(4)　$X$が$Y$の$2$倍以上$3$倍未満になる確率を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を整数とし，$k\ne 0$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は相異なる解$x=k+{\displaystyle \frac{1}{k}}\text{，}k-{\displaystyle \frac{1}{k}}$をもつとする．次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　$c$を整数，$n$を自然数とする．

$c^n$が偶数ならば$c$も偶数である

ことを示せ．

(3)　$a$が偶数であることを示せ．

(4)　$a\text{，}b\text{，}k$の値を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$である正三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{B}$を通り，直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線を$l$とする．直線$\mathrm{OC}$と直線$l$の交点を$\mathrm{D}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$は直線$l$に平行であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{OBD}$の外接円の半径を求めよ．

【４】　$t$の関数$f(t)$を

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^2}x|x-t|dx$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$t>0$のとき，$x$の関数$y=x|x-t|$のグラフをかけ．

(2)　関数$f(t)$を求めよ．

(3)　関数$f(t)$の最小値を求めよ．