2012　広島市立大学　後期MathJax

【１】

問１　次の関数の導関数を求めよ．

(1)　$y={(1+2^x)}^2$

(2)　$y=\log (1+\cos {\displaystyle \frac{x}{2}})$

【１】

問２　次の不定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{1+\sin x}}$

(2)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{x\sqrt{\log x+2}}}$

【２】

問１　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$は三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$を通ることを示せ．さらに，$\mathrm{DG}:\mathrm{GE}$を求めよ．

【２】問２　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<p<1$とし，実数$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}{x}_4\text{，}{x}_5\text{，}{x}_6$に対して次の等式が成り立っているとする．

$\left(\begin{array}{ccc}1& p& p\\ p& 1& p\\ p& p& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& 0& 0\\ x_2& x_4& 0\\ x_3& x_5& x_6\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ 0& x_4& x_5\\ 0& 0& x_6\end{array}\right)$

ただし，$x_1>0\text{，}{x}_4>0\text{，}{x}_6>0$とする．

(1)　$x_1$を求めよ．

(2)　$x_2\text{，}{x}_3\text{，}{x}_4\text{，}{x}_5\text{，}{x}_6$を$p$を用いてそれぞれ表せ．

【３】　関数$f(x)=e^x(\sin x+\cos x)$について，以下の問いに答えよ．

問１　$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$を求めよ．

問２　$a$を定数とする．すべての実数$x$に対して

$a{e}^x\geqq f(x)$

が成立するような$a$の最小値$a_0$を求めよ．

問３　問２で求めた$a_0$に対し，$a_0{e}^x=f(x)$を満たす正の数$x$のうちで最小の数を$r$とする．$r$を求めよ．また，$x=r$の前後で曲線$y=f(x)$は下に凸から上に凸に変わることを示せ．

問４　微分可能な関数$g(x)$に対して$h(x)=e^{x}g(x)$の導関数を求め，これを利用して$f(x)$の不定積分を求めよ．

問５　$0\leqq x\leqq r$において$2$曲線$y=a_0{e}^x\text{，}y=f(x)\text{，}$および$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．ただし，$a_0\text{，}r$は問２，問３で求めた値とする．

【４】　袋の中に$n$枚のカードが入っている．各カードには$1$から$n$までの自然数が$1$つ書かれており，各カードに書かれた自然数はすべて異なるとする．ただし，$n\geqq 2$とする．

問１　この袋の中からカードを$1$枚ずつ取り出し，その順に左側から$n$枚並べる．

(1)　$1$が書かれたカードが左側から$k$枚目のカードである確率を求めよ．

(2)　$1$が書かれたカードが左側から$k$枚目までのカードのいずれかである確率を求めよ．

(3)　$1$が書かれたカードまでの枚数を左側から数え，これを$X$とする．例えば，$1$が書かれたカードが左側から$2$枚目のカードであるときは，$X=2$となる．$X$の期待値を求めよ．

問２　この袋の中からカードを$1$枚取り出して書かれた数を確認し，取り出したカードはこの袋に戻すとする．この試行を$n$回くり返す．

(1)　$1$が書かれたカードを$k$回目で初めて取り出す確率を求めよ．

(2)　$1$が書かれたカードを$k$回目までに取り出す確率を求めよ．

(3)　$1$が書かれたカードを初めて取り出すまでに必要な試行の回数を得点とする．ただし，$n$回試行しても$1$が書かれたカードが取り出されなかったときは，得点は$0$点とする．得点の期待値を求めよ．