2012　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$x^3-2x^2+7x-1={(x-1)}^3+a{(x-1)}^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　方程式$\left|x\right|+3|x-2|=x+1$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を

$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=2:1$

を満たすようにとり，$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{OD}$と直線$\mathrm{AE}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，線分の長さの比の値${\displaystyle \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{OD}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AE}}}$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f^{\prime }(x)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分係数$f^{\prime }(a)$を求めよ．

【２】　$x$の$2$次方程式$x^2-2x-1=0$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とし，正の整数$n$に対して

$x_n={\displaystyle \frac{{\beta }^n-{\alpha }^n}{2\sqrt{2}}}$

とおく．次の各問に答えよ．

(1)　$x_1\text{，}{x}_2$を求めよ．

(2)　$x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$が成り立つことを証明せよ．

(3)　$x_{3n}$は$5$の倍数であることを証明せよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x-2}{x+1}}$について，次の各問に答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$を解け．

(2)　関数$f(x)$の極大値，極小値およびそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　次の各問に答えよ．

(1)　$0<x<\pi$において，方程式$\sin x-x\cos x-1=0$はただ$1$つの実数解$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をもつことを証明せよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x+\cos x}{\sin x}}$の$0<x<\pi$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　$a$を定数とする．方程式$x+\cos x-a\sin x=0$の$0<x<\pi$における異なる実数解の個数を求めよ．