2012　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$を中心とし，$150\mathrm{°}$だけ回転すると，点$\mathrm{P}(x,y)$が点$(7,\sqrt{3})$に移った．$x$と$y$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$x\geqq 0$と自然数$n$に対して，$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n\sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．一方，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　さいころを$3$回続けて投げたとき，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ．また，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$\cos \theta ={\sin }^2\theta$のとき，$\alpha =(1+\cos \theta )\cos \theta$と$\beta ={\sin }^8\theta +2{\sin }^6\theta +3{\sin }^4\theta +2{\sin }^2\theta$の値を求めよ．

【２】　$A\text{，}B\text{，}C$を$A>B>C>0$をみたす定数とする．$3$つの$2$次方程式$A{x}^2-2Bx+C=0\text{，}-2B{x}^2+Cx+A=0\text{，}C{x}^2+Ax-2B=0$が共通の実数解$\gamma$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　$B$を$A$と$C$を用いて表せ．

(2)　$A{x}^2-2Bx+C=0$の$2$つの解を${\alpha }_1\text{，}{\beta }_1$とする．${\alpha }_1>{\beta }_1$とするとき，${\alpha }_1$の値を求めよ．また，${\beta }_1$を$A$と$C$を用いて表せ．

(3)　$C{x}^2+Ax-2B=0$の$2$つの解を${\alpha }_2\text{，}{\beta }_2$とする．${\alpha }_2>{\beta }_2$とするとき，${\alpha }_2$の値を求めよ．また，${\beta }_2$を$A$と$C$を用いて表せ．

(4)　$-2B{x}^2+Cx+A=0$の$\gamma$と異なる解$\theta$を$A$と$C$を用いて表せ．

【３】　定数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，$y=2x^{-a}\text{，}z=c{x}^{ab}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$1\leqq x\leqq 2\text{，}a>0\text{，}c>0$とする．

(1)　$z$を$y\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　$s={\log }_{2}y\text{，}t={\log }_{2}x$とおく．定数$A$と$B$を用いて$t=As+B$と表したとき，$A$を$b$を用いて表せ．また，$B$を$b$と$c$を用いて表せ．

(3)　$A=-3\text{，}B=8$のとき，$b$と$c$の値を求めよ．

(4)　$A=-3\text{，}B=8$とする．$w={\displaystyle \frac{y}{z}}$の$1\leqq x\leqq 2$における最小値が${\displaystyle \frac{1}{32}}$となるとき，$a$の値を求めよ．