2012　北九州市立大学　後期国際環境工学部MathJax

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$1$辺が$12\mathrm{cm}$の正方形$\mathrm{ABCD}$に，面積が$104{\mathrm{cm}}^2$の正方形$\mathrm{EFGH}$を右図のように内接させる．ただし，$\mathrm{AE}<\mathrm{AH}$とする．このとき$\mathrm{AH}$の長さは$\boxed{\text{ア}}\mathrm{cm}$である．

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　定価が$1$個$100$円の商品がある．この商品を，$\mathrm{A}$店では$5$個までは定価であるが，$6$個以上は$6$個目から$1$個につき定価の$15\mathrm{\%}$引きで，また，$\mathrm{B}$店では$10$個までは定価であるが，$11$個以上は$11$個目から$1$個につき定価の$35\mathrm{\%}$引きで売っている．この商品を$\mathrm{A}$店で買うより$\mathrm{B}$店で買う方が安くなるのは$\boxed{\text{イ}}$個以上買うときである．

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$において，角$\mathrm{B}$が$60\mathrm{°}$であり，$2$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$の長さの和が$12\mathrm{cm}$であるとする．このような三角形の面積の最大値は$\boxed{\text{ウ}}{\mathrm{cm}}^2$である．

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　$\mathrm{AB}=4\mathrm{cm}\text{，}\mathrm{BC}=5\mathrm{cm}\text{，}\mathrm{CA}=3\mathrm{cm}$である三角形$\mathrm{ABC}$がある．この三角形に右図のように長方形$\mathrm{PQRS}$を内接させるとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値は$\boxed{\text{エ}}{\mathrm{cm}}^2$である．

【3-A】　次の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　方程式$a+b+c+d=10$を満たす整数解$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の組の総数は$\boxed{\text{オ}}$である．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$はすべて$0$以上である．

【3-B】　$z=s+ti$となる複素数を用いて$u=(z+ai)(\bar{z}+ai)$とおく．ただし，$i$は虚数単位，$s\text{，}t\text{，}a$は実数であり，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．以下の問いに答えよ．

(1)　以下の空欄$\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

$u=v+wi$と表したとき，

$v=\boxed{\text{カ}}\text{，}w=\boxed{\text{キ}}$となる．ただし，$v$は$u$の実部，$w$は$u$の虚部である．

(2)　以下の空欄$\boxed{\text{ク}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)において，$v=w$を満たすとき，座標平面上における点$(s,t)$全体の集合は円となり，その半径は$\boxed{\text{ク}}\text{，}$中心座標は$(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})$である．

(3)　(1)において，$t=2s$を満たすとき，$v-w$を$s$の関数$f(s)$で表す．また，$f(s)$の最小値を与える$s$を$x$とし，$y=f(x)$とおく．$a$の値が変化するとき，$(x,y)$の軌跡を求め，図示せよ．答えを導く過程を記すこと．

【3-C】　関数$f(x)=a{x}^3-9a{x}^2+b$とする．ただし，$a$と$b$は定数であり，$a\ne 0$である．以下の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　関数$g(x)=f(x)\cos (ax)$の導関数$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{dg(x)}{dx}}$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)dx$を求めよ．

(3)　区間$[-1,2]$において，関数$f(x)$の最大値が$6\text{，}$最小値が$-8$となるときの$a\text{，}b$の値の組をすべて求めよ．