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2012-11851-0101
2012 福岡女子大学 前期
国際文理学部
易□ 並□ 難□
【1】 a を定数とし, f⁡( x)= x5- 5⁢x3 +a⁢x とする.方程式 f⁡( x)= 0 は異なる 5 つの実数解をもち,これらを x1< x2< x3< x4< x5 とする.この 5 つの解は等差数列をなしており,その総和は 0 である.次の問いに答えなさい.
(1) x3 =0 を示せ.
(2) a の値を求めよ.
(3) x1 , x2 , x4 , x5 を求めよ.
2012-11851-0102
【2】 放物線 y =x2 の 2 つの接線が直交しており,接点を P ,Q としその x 座標をそれぞれ s , t とする.次の問に答えなさい.
(1) s と t の関係式を求めなさい.
(2) 2 点 P ,Q を結ぶ線分は,接線のとり方に関係なく常に y 軸上のある定点を通ることを示しなさい.
2012-11851-0103
国際文理(国際教養学科)学部
【3】 三角形 OAB の頂点を O ( 0,0 ), A (1 ,1) ,B ( 2,0 ) とする.辺 OB を 1 :2 に内分する点を D , 辺 AB を 1 :1 に内分する点を C とする. 2 つの線分 OC と AD の交点を P とし,線分 BP の延長線と辺 OA の交点を E とする.次の問に答えなさい.
(1) AP:PD 及び OP :PC を求めなさい.
(2) ベクトル BP → の成分を求めなさい.
(3) 点 E の座標を求めなさい.
2012-11851-0104
【4】 袋に 3 個のボールが入っており,それぞれ 1 , 2 ,3 の異なる数字がつけられている.袋から同時にボール 2 つを取り出し,その数字を x 1 ,x2 とする.次の問に答えなさい.
(1) 絶対値 | x1- x2 | の取り得る値をすべて書き出し,各値の起こる確率を求めなさい.
(2) ボールを取り出して | x1- x2 | を求めることを何度も繰り返す.ただし,ボールは毎回元に戻すものとする. k 回目の | x1- x2 | の値を y k とする. n≧1 とし, y1 +y2 +⋯+ yn が偶数となる確率を p n とした時, pn+ 1 を p n の式で表しなさい.
(3) pn を n の式で表しなさい.
2012-11851-0105
国際文理(環境科学科)学部
図1
【3】 実数 t を 0 <t≦1 とし,図1の斜線部分の図形 A の面積を S ⁡(t ) で表す.次の問に答えなさい.
(1) S⁡( t) を t の式で表しなさい.
(2) 図2,図3を参考にして,不等式
( 1-t )2 ≦S⁡ (1) -S⁡( t)≦ (1 -t) 2
が成り立つことを示しなさい.
(3) (2)の不等式を参考にして,不等式
2⁢( t-t )≦t ⁢log⁡t ≦t⁢( t-1 )
図2
図3
2012-11851-0106
【4】 関数 f⁡( x)= sin⁡x+ 1 2⁢ sin⁡ 2⁢x の定義域を - π 2≦x ≦π とする.次の問に答えなさい.
(1) f⁡( x)> 0 となる x の範囲と f′⁡( x)> 0 となる x の範囲を,それぞれ求めなさい.
(2) 関数 y =f⁡( x) のグラフの概形を書きなさい.ただし,グラフの凹凸は調べなくてよい.
(3) ∫ -π2 π | f⁡( x) |⁢ dx の値を求めなさい.