2012　長崎県立大学　後期経済学部MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{CD}$が成り立つことを証明しなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　長さ$12\mathrm{cm}$の針金を$2$つに切り，それぞれを折り曲げて$2$つの正方形を作るとき，以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　$2$つの正方形の面積の和が最小となるのは針金をどのように切ったときか求めなさい．

(ⅱ)　$2$つの正方形の面積の和の最小値を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(3)　放物線$C\text{：}y=x^2-(a+b)x+ab$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，$S={\displaystyle \frac{1}{6}}{(b-a)}^3$となることを証明しなさい．ただし，$a<b$とする．

【２】　ある工場では，$3$種類の原料${\mathrm{M}}_1\text{，}{\mathrm{M}}_2\text{，}{\mathrm{M}}_3$を使い，$2$種類の製品${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$を生産している．製品${\mathrm{P}}_1$を$1\mathrm{kg}$生産するためには，原料${\mathrm{M}}_1$を$1\mathrm{kg}\text{，}{\mathrm{M}}_2$を$2\mathrm{kg}\text{，}{\mathrm{M}}_3$を$3\mathrm{kg}$必要とする．また，製品${\mathrm{P}}_2$を$1\mathrm{kg}$生産するためには，原料${\mathrm{M}}_1$が$7\mathrm{kg}\text{，}{\mathrm{M}}_2$が$4\mathrm{kg}\text{，}{\mathrm{M}}_3$が$2\mathrm{kg}$必要である．しかし，原料の量には限りがあり，${\mathrm{M}}_1$は$140\mathrm{kg}\text{，}{\mathrm{M}}_2$は$100\mathrm{kg}\text{，}{\mathrm{M}}_3$は$120\mathrm{kg}$までしか使用できない．製品${\mathrm{P}}_1$を$1\mathrm{kg}$生産すると$3$万円の利益が生じ，製品${\mathrm{P}}_2$を$1\mathrm{kg}$生産すると$5$万円の利益が生じる．いま，製品${\mathrm{P}}_1$を$x\mathrm{kg}\text{，}$製品${\mathrm{P}}_2$を$y\mathrm{kg}$生産したとき，利益が$k$万円生じたとする．次の問に答えよ．

(1)　${\mathrm{M}}_1$の使用量，${\mathrm{M}}_2$の使用量，${\mathrm{M}}_3$の使用量および製品${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の生産量に関する条件について，それぞれ不等式を用いて表しなさい．

(2)　(1)の条件式が満たす領域を図示しなさい．

(3)　$k$を$x$と$y$を用いて表しなさい．

(4)　利益を最大とするには，製品${\mathrm{P}}_1\text{，}$製品${\mathrm{P}}_2$をそれぞれどれだけ生産するとよいかを求めなさい．また，そのときの利益はいくらになるか求めなさい．

【３】　四角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$の辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{D}}_1{\mathrm{A}}_{\mathrm{}}$の中点をそれぞれ${\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{D}}_2$とする．これらを頂点とする四角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2$の辺${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2\text{，}{\mathrm{D}}_2{\mathrm{A}}_2$の中点をそれぞれ${\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{C}}_3\text{，}{\mathrm{D}}_3$とする．この操作を繰り返し，四角形${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k{\mathrm{D}}_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．これらの四角形の中から$k$が偶数となる四角形${\mathrm{A}}_{2n}{\mathrm{B}}_{2n}{\mathrm{C}}_{2n}{\mathrm{D}}_{2n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の面積を$S_{2n}$とする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$2$以上の整数$k$について，四角形${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k{\mathrm{D}}_k$が平行四辺形となることを証明しなさい．

(2)　$S_{2n}=x$であるとき，$S_{2n+2}$を$x$を用いて表しなさい．

(3)　四角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2$の面積を$S_2=100$とする．このとき，$S_{2n}<0.01$を満たす整数$n$の範囲を求めなさい．

【４】　$n$を正の整数とし，集合$A$は以下に示される$2$つの条件を満たさなければならないとする．

条件１：集合$A$の要素は，異なる$n$個の実数からなる．

条件２：集合$A$から重複を許さずに$2$つの要素$x\text{，}y$をどのように選んでも，$x+y$と$x\times y$が集合$A$の要素となる．

このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$n=2$とするとき，$b_1>0\text{，}{b}_2>0$を満たす任意の実数$b_1\text{，}{b}_2$について，集合$B=\{b_1,b_2\}$は集合$A$の条件を満たさないことを証明しなさい．

(2)　$n=3$とするとき，$c>1$を満たす任意の実数$c$について，集合$C=\{-c,0,c\}$は集合$A$の条件を満たさないことを証明しなさい．

(3)　$n\geqq 3$とするとき，条件１と条件２をともに満たす集合を示し，それ以外に存在しないことを証明しなさい．

【５】　大きさが同じである赤球$3$個，白球$3$個を$2$つの袋にそれぞれ$3$個ずつ分けて入れる．この作業のとき，どの色の球がどのように分けられたのかは分からないものとする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$2$つの袋にそれぞれ異なる色の球が混じって入っている確率を求めなさい．

(2)　$2$つの袋からそれぞれ$1$個ずつ球を取り出すとき，取り出した球の色が同じである確率を求めなさい．

(3)　球をよく混ぜた後，$2$つの袋からそれぞれ$1$個ずつ取り出し，取り出した袋とは反対の袋に戻す．この試行を$2$回繰り返した後，初めてそれぞれの袋に同じ色の球のみが入っている確率を求めなさい．ただし，球を袋から出し入れする作業のとき球の色は分からないものとする．