2012　東北学院大学　前期分割文，経済，経営，法，教養学部2月2日MathJax

【１】　$a$を正の実数とするとき，$2$次関数$y=a{x}^2-2ax+1$について次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$次関数のグラフが点$(-2,5)$を通るときの$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　$2$次関数のグラフが$x$軸に接するときの$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq 3$における$2$次関数の最大値と最小値の差が$12$のときの$a$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$9x^4+2x^2{y}^2+y^4$を因数分解せよ．

(ⅱ)　$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$を因数分解せよ．

(ⅲ)　$a=\sqrt{5}+2\text{，}b=\sqrt{5}-2\text{，}c=\sqrt{5}$のとき，$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$の値を求めよ．

【３】　次の$2$つの方程式が共通の解を持つような定数$a$の値をすべて求めよ．

$x^3+a{x}^2+x+2=0\text{，}{x}^3+2x^2+x+a=0$

【４】　$m$を定数とするとき，関数$y=\sin 2\theta -2m\sin \theta -2m\cos \theta +m^2\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$について次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$t=\sin \theta +\cos \theta$とおいて$y$を$t$で表せ．

(ⅱ)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　$y$の最小値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$n$が整数のとき，$n^3$が偶数ならば$n$も偶数であることを示せ．

(ⅱ)　$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを示せ．

(ⅲ)　$p\text{，}q$が有理数のとき，$p+q\sqrt[3]{2}=0$ならば$p=q=0$であることを示せ．

【６】　空間に$5$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$があり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$であるとする．また$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とするとき，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$が成り立つとする．このとき次の等式を証明せよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}$

(ⅱ)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}$

(ⅲ)　$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$