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2012-12441-0701
2012 東北学院大学 後期文,法,経済,経営,教養学部
必須問題
3月6日実施
易□ 並□ 難□
【1】 p ,q を実数とするとき, 2 次関数
y=2⁢ x2+ 4⁢p⁢ x+2⁢ p2+ 3⁢p+ 2⁢q+ 1⋯ ①
について次の問いに答えよ.
(ⅰ) ① のグラフの頂点の座標を p , q を使って表せ.
(ⅱ) ① のグラフを y 軸方向に -3 だけ平行移動すると x 軸に接し, x 軸方向に -2 , y 軸方向に 2 だけ平行移動すると ( -p,q ) を通る.このとき p , q の値を求めよ.
(ⅲ) (ⅱ)で求めた p , q に対する ① のグラフを x 軸方向に a , y 軸方向に b だけ平行移動すると y =2⁢ x2 のグラフに一致する. a ,b の値を求めよ.
(ⅳ) 0<p< 1 とし, ① の定義域を -2≦ x≦2 とする.このとき, ① の最大値が 11 , 最小値が - 32 となるように p , q の値を求めよ.
2012-12441-0702
【2】〜【6】から2題選択
【2】 次の式の分母を有理化せよ.
(ⅰ) 1 6+ 3+2 +1
(ⅱ) 2 15- 10+6 -2
2012-12441-0703
【3】 2 次関数 f⁡ (x ) が次の式をみたすとき,次の問いに答えよ.
(x -1) 2⁢ f′⁡ (x) -6⁢ ∫0x ⁡f⁡ (t) ⁢dt+ 6⁢x2 +3=0
(ⅰ) 2 次関数 f⁡ (x ) を求めよ.
(ⅱ) 曲線 y= f⁡( x) と直線 y= -2⁢x +4 とで囲まれる図形の面積 S を求めよ.
2012-12441-0704
【4】 m を実数とするとき, 2 直線 y- m⁢x= 0 と m⁢ y+x- 1=0 について考える.
(ⅰ) 各々の直線は m の値によらずある定点を通ることを示せ.
(ⅱ) 2 直線の交点の通る軌跡を求めよ.
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【5】 次の問いに答えよ.
(ⅰ) x+y= 10 を満たす負でない整数の組 (x ,y) の個数を求めよ.
(ⅱ) x+y+ z=10 を満たす負でない整数の組 (x ,y,z ) の個数を求めよ.
(ⅲ) x+y+ z=10 を満たす自然数の組 (x ,y,z ) の個数を求めよ.
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【6】 a→ , b→ は平面上の平行でない 2 つのベクトルであり, a→ ≠0→ , | b→ |= 1 とする.また t を実数とする.このとき次の問いに答えよ.
(ⅰ) | a→ +t⁢ b→ | 2 を | a→ | , a→ ⋅b→ および t で表せ.
(ⅱ) | a→ +t⁢ b→ | 2 の最小値とそのときの t の値を求めよ.
(ⅲ) (ⅱ)で求めた t の値に対して, a→ +t⁢ b→ と b → は垂直であることを示せ.