2012　東北学院大学　後期工学部3月6日MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　${\left({\displaystyle \frac{1+x}{2}}\right)}^3-{\left({\displaystyle \frac{1-x}{2}}\right)}^3=2x$を満たす$x>0$の解は$\boxed{\text{（ア）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　連立不等式$2x+y\leqq 8\text{，}x+3y\leqq 18\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$で表される領域の面積は$\boxed{\text{（イ）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$つの部屋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に空室のないように$\mathrm{a}\text{，}\mathrm{b}\text{，}\mathrm{c}\text{，}\mathrm{d}\text{，}\mathrm{e}\text{，}\mathrm{f}$の$6$人を入れる場合の数は$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【２】　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし$0<\theta <90\mathrm{°}$とする．

(ⅱ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$\text{（}s+t=2\text{，}$$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0\text{）}$に対し，点$\mathrm{P}$の軌跡の長さを求めよ．

(ⅲ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$\text{（}0\leqq s+t\leqq 2\text{，}$$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{）}$に対し，点$\mathrm{Q}$のとり得る領域の面積を求めよ．

【３】　放物線$y=-x^2+1$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　放物線上の点$(-1,0)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　放物線の接線で，$l$に直交するものの方程式を求めよ．

(ⅲ)　(ⅰ)，(ⅱ)で求めた接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　曲線$y=f(x)\text{（}x>0\text{）}$上の点$(x,y)$における接線の傾きが${\displaystyle \frac{1}{x}}+1$であり，かつ点$(1,2)$を通るものを考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$x=e$における接線の方程式を求めよ．

(ⅲ)　曲線と(ⅱ)で求めた接線および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．