2012　学習院大学　文学部MathJax

2012-13331-0101

2012　学習院大学　文学部

25点

2月7日実施

易□　並□　難□

【１】　 $4$ 枚のコインの表に $1$ から $4$ まで数字が $1$ つずつ書かれている．これらを同時に投げ，表が出たコインに書かれた数字の和を $S$ とする．ただし，すべてが裏のときは $S = 0$ とする．

(1)　 $1 ≦ S ≦ 5$ である確率を求めよ．

(2)　 $S$ の期待値を求めよ．

(3)　表が出たコインに書かれた数字のうち奇数だけの和を $T$ とする． $T$ の期待値を求めよ．

2012-13331-0102

2012　学習院大学　文学部

25点

2月7日実施

易□　並□　難□

【２】　 $0 ≦ t < 2 π$ に対して， $2$ 次方程式

$x^{2} + (\sin t - 2) x + \sin 2 t - \sin t = 0$

を考える．

(1)　すべての $t$ に対して方程式は相異なる $2$ つの実数解をもつことを示せ．

(2)　方程式が $2$ つの正の実数解をもつための $t$ の範囲を求めよ．

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25点

2月7日実施

易□　並□　難□

【３】　等式

$\frac{1}{x^{3} - x} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x} + \frac{c}{x + 1}$

が恒等式となるように定数 $a ， b ， c$ の値を求めよ．また，それを利用して

$\sum_{n = 2}^{100} \frac{1}{n^{3} - n}$

を求めよ．

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25点

2月7日実施

易□　並□　難□

【４】　 $t > 0$ とし，放物線 $C_{1} : y = - \frac{1}{16} x^{2} - \frac{8}{9}$ 上の点 $P (t, - \frac{1}{16} t^{2} - \frac{8}{9})$ における法線を $L$ とする．ただし，点 $P$ における法線とは，点 $P$ を通り，点 $P$ における $C_{1}$ の接線と直交する直線のことである．

(1)　 $L$ が放物線 $C_{2} : y = x^{2}$ に接するとき， $t$ の値を求めよ．

(2)　 $t$ が(1)での値をとるとき， $C_{1} ， C_{2} ， L$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．