2012 学習院大学 理学部

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2012 学習院大学 理学部

30点

2月8日実施

易□ 並□ 難□

【1】 平面上の点で,その座標が両方とも整数であるものを格子点と呼ぶ.原点を O とし, O 以外の格子点 P に対して,線分 OP 上にある O P 以外の格子点の個数を n ( P ) で表す.たとえば,点 P ( 2,3 ) については n ( P) =0 である.条件

0a 30 かつ 1 b30 かつ n (P )=4

をみたす格子点 P (a ,b) の個数を求めよ.

2012 学習院大学 理学部

40点

2月8日実施

易□ 並□ 難□

【2】 関係式

a1= 0 11- an+1 -1 1-a n =2n +1 n=1 2 3

により定まる数列 { an} に対して,次の問に答えよ.

(1) 一般項 a n を求めよ.

(2)  k=1 2 3 に対して

bk= k+1 k ( 1-a k+1 )

とおく.このとき,すべての n に対して, k=1 n bk< 2-1 が成り立つことを示せ.

2012 学習院大学 理学部

40点

2月8日実施

易□ 並□ 難□

【3】  p を定数として,関数 f (x )

f( x)= ex- (1 +1 2 x ) (1 +p x)

と定める.

(1)  p=0 のとき, x0 ならば f (x )0 であることを示せ.

(2) 「 x 0 ならば f (x) 0 」が成り立つような定数 p の取り得る値の範囲を求めよ.

2012 学習院大学 理学部

40点

2月8日実施

易□ 並□ 難□

【4】 正の実数 x に対して

f( x)= x2x (t logt- t) dt

とおく. f( x) の最小値と,最小値を与える x を求めよ.