2012　学習院大学　理学部MathJax

【１】　平面上の点で，その座標が両方とも整数であるものを格子点と呼ぶ．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$以外の格子点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{OP}$上にある$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$以外の格子点の個数を$n(\mathrm{P})$で表す．たとえば，点$\mathrm{P}(2,3)$については$n(\mathrm{P})=0$である．条件

$0\leqq a\leqq 30$かつ$1\leqq b\leqq 30$かつ$n(\mathrm{P})=4$

をみたす格子点$\mathrm{P}(a,b)$の個数を求めよ．

【２】　関係式

$a_1=0\text{，}{\displaystyle \frac{1}{1-a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{1-a_n}}=2n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定まる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$b_k=\sqrt{{\displaystyle \frac{k+1}{k}}}(1-\sqrt{a_{k+1}})$

とおく．このとき，すべての$n$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k<\sqrt{2}-1$が成り立つことを示せ．

【３】　$p$を定数として，関数$f(x)$を

$f(x)=e^x-(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x)(1+px)$

と定める．

(1)　$p=0$のとき，$x\geqq 0$ならば$f(x)\geqq 0$であることを示せ．

(2)　「$x\geqq 0$ならば$f(x)\geqq 0$」が成り立つような定数$p$の取り得る値の範囲を求めよ．

【４】　正の実数$x$に対して

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}(t\log t-t)dt$

とおく．$f(x)$の最小値と，最小値を与える$x$を求めよ．