2012　学習院大学　経済学部MathJax

【１】　大中小$3$つのサイコロを振って，出た目をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．$2$次方程式

$a{x}^2+bx+c=0$

が実数解をもつ確率を求めよ．

【２】　台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$は平行，$\angle \mathrm{ABC}$は直角，$\mathrm{AD}=2\text{，}\mathrm{BC}=3$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，ベクトル

$\overrightarrow{\mathrm{PC}}+4\overrightarrow{\mathrm{PD}}$

の長さの最小値を求めよ．また，最小値を与える$\mathrm{P}$について${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}}$を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を正の実数とする．$3$次関数

$f(x)=ax{(x-b)}^2$

は$f(4)=27$をみたし，$0<x<4$において極大値$2$をもつ．$a\text{，}b$を求めよ．

【４】　$p\text{，}a\text{，}b$を実数，ただし$p>0\text{，}a>0$とする．直線$L:y=px$と直線$L^{\prime }$が原点で直交している．放物線$C:y=a{x}^2+bx+1$は$L$と$L^{\prime }$に同時に接している．

(1)　$a$と$b$を，$p$を用いて表せ．

(2)　$p=2$のとき，$L$と$L^{\prime }$と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．