2012　学習院大学　法学部MathJax

【１】　正の実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}\geqq {\displaystyle \frac{9}{a+b+c}}$

を証明せよ．また，等号が成り立つための条件を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．$1$枚のコインを投げ続けて，裏が出た時点で終了するゲームを行う．ただし，$n$回続けて表が出たときもゲームは終了するものとする．このゲームで出た表の数を$p$とするとき，次のように得点を与える．

$p=0$ならば得点は$0$，

$p\geqq 1$ならば得点は$3^p$である．

得点の期待値を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．方程式

${\cos }^{2}x-2a\sin x-a+3=0$

の解で$0\leqq x<2\pi$の範囲にあるものの個数を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を正の実数とする．

(1)　放物線$C:y=-a{x}^2+b$が放物線$y=x^2$と直交するとき，$b$を$a$で表せ．ただし，$2$つの放物線が直交するとは，それらが交わり，各交点でそれらの接線が直交することをいう．

(2)　$C$は(1)の条件を満たすとする．$C$と放物線$y=c{x}^2+d$が直交するとき，$d$を$c$で表せ．