2012　学習院大学　数学科推薦入試MathJax

2012　学習院大学　数学科推薦入試

易□　並□　難□

【１】　すべての自然数 $n$ について， $2^{2 n + 3} + 5^{3 n - 3}$ は $11$ の倍数であることを示せ．

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易□　並□　難□

【２】　 $a$ を実数とするとき，放物線 $y = x^{2}$ と円 $x^{2} + {(y - a)}^{2} = 1$ の両方に接する直線の方程式を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　次の問に答えよ．

(1)　不等式

$\log_{2} x + \log_{4} y ≧ 1$

を満たす点 $(x, y)$ の範囲を図示せよ．

(2)　点 $(x, y)$ が上の範囲を動くとき， $x + y$ の最小値と，最小値を与える点 $(x, y)$ を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　次の積分を計算せよ．

$\int_{0}^{1} {(e^{2 x} - \frac{1}{e^{x}})}^{2} x d x$