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2012-13338-0101
2012 慶応義塾大学 薬学部
2月12日実施
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問の (1) 〜 (39) に当てはまる適切な数値またはマイナス符号( - )をマークしなさい.
(1) (a ⁢x+ 2a2 ⁢x )10 を展開したところ, x2 の項の係数は 560 であった.ただし a >0 とする.このとき, a の値は (1) であり, x-6 の項の係数は (2)(3) (4)(5)(6) である.
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(2) 関数 f⁡ (x) =loga ⁡x があり,以下に示す ① と ② は共通の解をもつ.
{ f⁡( x)+ f⁡( x-3) =4⋯ ①f ⁡(3 ⁢x2 -16⁢x +20) -f⁡( x-2) =2⋯ ②
(ⅰ) f⁡( 2⁢6 4)- f⁡( 6⁢ 728 ) の値は (7)(8) (9) である.
(ⅱ) y=f⁡ (x ) 上の点 P と点 A (- 4,8 ) を結んだ線分 AP を 1: 3 に内分する点の軌跡は,底を a 4 とする対数関数 y =loga 4⁡ x のグラフを x 軸正方向に (10)(11) ,y 軸正方向に (12) 平行移動したグラフとなる.
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(3) 三角形 ABC において, 3 辺の長さは AB= 2⁢a+ 1, BC=2⁢ a, CA=a であり, cos⁡∠ BAC= 1124 である.ただし a >0 とする.
(ⅰ) 内積 AB →⋅ AC→ は (13)(14) (15) である.
(ⅱ) 辺 AB を 1: 3 に内分する点を Q , 辺 CA の垂直二等分線と線分 CQ , 辺 CA との交点をそれぞれ P ,R とおく.このとき AP → を AB → と AC → を用いて表すと, AP→ = (16)(17) (18)(19) ⁢ AB →+ (20)(21) (22)(23) ⁢ AC→ である.
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(4) 右図のように, 4 行 4 列の計 16 個のマス目をつくり,さらに太線でそれぞれ 2 行 2 列からなる 4 つの区画に分ける.それぞれのマス目に 1 から 4 までの数字を 1 つずつ書き込む.ただし,以下の 3 つの条件を全て満たすものとする.
① 各行には 1 , 2 ,3 ,4 が 1 回ずつあらわれる.
② 各列には 1 , 2 ,3 ,4 が 1 回ずつあらわれる.
③ 各区画には 1 , 2 ,3 ,4 が 1 回ずつあらわれる.
数字の書き込み方は全部で (24)(25)(26) 通りある.
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(5) 関数 f⁡ (x) =- 23⁢ ( 8x+ 8-x )+10 ⁢( 4x+ 4-x )- 24⁢( 2x+ 1+ 2-x+ 1) +84 がある.
(ⅰ) 2x+ 2-x =5 のとき f⁡ (x ) の値は (27) (28) である.
(ⅱ) 2x+ 2-x =t とおいたとき, f⁡t) の解 t がただ 1 つであるような定数 k の値の範囲は
(29)+ (30) ⁢ (31) (32) <k ≦ (33)(34) (35) ,k< (36)- (37) ⁢(38) (39)
である.
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【2】 以下の問の (40) 〜 (49) に当てはまる適切な数値またはマイナス符号( - )をマークしなさい.
y=| x| のグラフと 2 直線 l , m に囲まれた部分の面積を考える.ただし f⁡ (x ) は,等式
f⁡( x)= 1 4⁢ x 2+ 154 ⁢ ∫ -20 ⁡x ⁢f⁡( t)⁢ dt- 43 ∫-3 3⁡ {f⁡ (t) +6} ⁢dt
を満たし,直線 l は y= |f ⁡( x) | の x= 8 における接線である.また直線 m は,直線 l と y =| f⁡( x) | の交点と点 ( 1,3 ) の 2 点を通る,傾き負の直線である.
(1) f⁡( x)= (40) (41) ⁢ x2- (42) ⁢x -(43) である.
(2) 直線 m の方程式は y= -(44) ⁢ x+(45) である.
(3) y=| f⁡( x) | のグラフと 2 直線 l , m に囲まれた部分の面積は (46)(47)(48) (49) である.
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【3】 以下の問の (50) 〜 (63) に当てはまる適切な数値またはマイナス符号( - )をマークしなさい.
関数 y= -4⁢a ⁢sin2 ⁡ θ 2-3 ⁢sin⁡2 ⁢θ-4 ⁢cos⁡2 ⁢θ-6 ⁢a⁢sin ⁡θ+2 ⁢a+10 がある.
(1) 3⁢sin⁡ θ-cos⁡ θ=t とおくと, y=t2 -(50) ⁢ a⁢t+ (51) である.
(2) a の値の範囲が -5< a<5 のとき,この関数の最大値 y max のとりうる値の範囲は (52)(53)≦ ymax< (54)(55) +(56)(57) ⁢ (58)(59) である.
(3) この関数の最小値が -15 であるとき a= ± (60) ⁢ (61)(62) (63) である.
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【4】 以下の問の (64) 〜 (73) に当てはまる適切な数値またはマイナス符号( - )をマークしなさい.
xy 平面上に原点 O (0 ,0) を中心とする円 C と, 2 つの直線 l 1 ,l2 がある.ただし, a>1 とする.
円 C: x2+ y2= 1 直線 l1 :x+ 2⁢y = 3a 直線 l 2 : x+2 ⁢y=a ⁢3
円 C と直線 l 1 は異なる 2 点 A , B で交わり,それぞれの x 座標を x A , xB とおくと, xA <x B である.また,直線 l 2 上に, x 座標および y 座標が共に正であるような点 P をとる.三角形 APB において, ∠APB= θ とすると, cos⁡θ =1 a⁢ a2- 1 であり,四角形 OAPB の面積は 2 ⁢6 である.
(1) 線分 AB の長さは (64) ⁢ (65) (66) である.
(2) ∠OBP= (67) (68) ⁢π + (69) (70) ⁢ θ である.
(3) 三角形 OBP の面積は (71) ⁢ (72) (73) である.