2012　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　${20}^{10}$の正の約数は全部で$\boxed{\text{(ア)}}$個ある．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　$2<{\log }_{a}900<6$を満たすような$2$以上の自然数$a$は全部で$\boxed{\text{(イ)}}$個ある．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　整数の組$(p,q)$のうち，$2$次方程式$x^2-2px+13=0$の解の$1$つが$p+qi$であるような組$(p,q)$は全部で$\boxed{\text{(ウ)}}$個ある．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　$100$以下の自然数$m$のうち，$2$次方程式$x^2-x-m=0$の$2$つの解がともに整数であるような$m$は全部で$\boxed{\text{(エ)}}$個ある．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　$3$次方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$つの実数解をもつような整数$k$は全部で$\boxed{\text{(オ)}}$個ある．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$\boxed{\text{(カ)}}$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，

$S_n=n^3+2012$

で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=\boxed{\text{(ク)}}$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{(ケ)}}$となる．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=a\text{，}\angle A=30\mathrm{°}$であるようなものについて考える．このとき$k=\boxed{\text{(コ)}}$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a\geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a\geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=\boxed{\text{(サ)}}$となる．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$\boxed{\text{(シ)}}$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$\boxed{\text{(ス)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　実数$x\text{，}y$が$2$つの不等式

$x^2+y^2\leqq 25\text{，}x-2y\geqq 5$

を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$\boxed{\text{(セ)}}$であり，最小値は$\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，

$\mathrm{AB}=7\sqrt{2}\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{CD}=\sqrt{2}\text{，}\angle \mathrm{ABC}=45\mathrm{°}$

とする．このとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\mathrm{AC}=\boxed{\text{(タ)}}$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径$R$は$R=\boxed{\text{(チ)}}$である．また，辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=\boxed{\text{(ツ)}}$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は$S=\boxed{\text{(テ)}}$である．さらに，対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\mathrm{BD}=\boxed{\text{(ト)}}$である．

【４】　座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,0,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1,1)$をとる．また$0<s<1\text{，}0<t<1$とし，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．

　以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$s\text{，}t$を用いて表しなさい．

(2)　$s={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}t={\displaystyle \frac{1}{2}}$のときの$\angle \mathrm{APQ}$の大きさを$\theta$とする．

　このとき$\cos \theta$の値を求めなさい．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$とする．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$とする．このとき$s\text{，}t$が，それぞれ$0<s<1\text{，}0<t<1$の範囲を動くときの$l$の最小値を求めなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$次関数$y=x^2-1$と$1$次関数$y=x+1\text{，}y=-2x$の$3$つのグラフを解答用紙の所定の欄にかきなさい．

(2)　次の連立不等式の表す図形の面積を$S_1$とする．

$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2-1\\ y\leqq x+1\\ y\geqq 0\end{array}$

　このとき$S_1$の値を求めなさい．

(3)　次の連立不等式の表す図形の面積を$S_2$とする．

$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2-1\\ x\geqq 0\\ y\leqq -2x\end{array}$

　このとき$S_2$の値を求めなさい．