2012　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】

(1)　$3$つの行列の積

$(\begin{array}{cc}x& y\end{array})\left(\begin{array}{cc}2& a\\ a& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

の成分が任意の実数$x\text{，}y$に対し$0$以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと$\boxed{\text{(ア)}}$となる．

【１】

(2)　$\angle B$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$の$2$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$の長さをそれぞれ$3\text{，}1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分$\mathrm{BC}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{D}$とする．いま，$\angle \mathrm{CAD}=2\angle \mathrm{BAC}$が成り立つとすると，$x=\boxed{\text{(イ)}}$であり，$▵\mathrm{ACD}$の外接円の半径は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【１】

(3)　関数$f(x)\text{，}g(x)$が

$\{\begin{array}{l}f(x)=x{e}^x+2x{\displaystyle {\int }_0^2}|g(t)|dt-1\\ g(x)=x^2-x{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt\end{array}$

を満たすとき，${\displaystyle {\int }_0^2}|g(t)|dt$の値は$\boxed{\text{(エ)}}$または$\boxed{\text{(オ)}}$である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．

【２】　円$x^2+{(y-1)}^2=1$と外接し，$x$軸と接する円で中心の$x$座標が正であるものを条件$\mathrm{P}$を満たす円ということにする．

(1)　条件$\mathrm{P}$を満たす円の中心は，曲線$y=\boxed{\text{(カ)}}\text{（}x>0\text{）}$の上にある．また，条件$\mathrm{P}$を満たす半径$9$の円を$C_1$とし，その中心の$x$座標を$a_1$とすると，$a_1=\boxed{\text{(キ)}}$である．

(2)　条件$\mathrm{P}$を満たし，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．また，$n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots$に対し，条件$\mathrm{P}$を満たし，円$C_{n-1}$に外接し，かつ円$C_{n-2}$と異なる円を$C_n$とする．円$C_n$の中心の$x$座標を$a_n$とするとき，自然数$n$に対し$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表しなさい．求める過程も書きなさい．

(3)　(1)，(2)で定めた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．求める過程も書きなさい．

【３】　袋の中に文字$\mathrm{𝕂}\text{，}\mathrm{𝔼}\text{，}\mathrm{𝕀}$が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつと，文字$\mathrm{𝕆}$が書かれたカードが何枚か入っている．いま，袋の中から$1$枚ずつカードを取り出し，$\mathrm{𝕂}\text{，}\mathrm{𝔼}\text{，}\mathrm{𝕀}\text{，}\mathrm{𝕆}$のすべての文字のカードがそれぞれ$1$枚以上出たところで終了する．ただし，一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする．

(1)　袋の中に文字$\mathrm{𝕆}$が書かれたカードが$7$枚あり，合計$10$枚のカードが入っている場合を考える．$3$枚目に文字$\mathrm{𝕆}$のカードを取り出す確率は$\boxed{\text{(ク)}}$であり，$1$枚目または$3$枚目に文字$\mathrm{𝕆}$のカードを取り出す確率は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．また，最後に取り出したカードに書かれている文字が$\mathrm{𝕂}$である確率は$\boxed{\text{(コ)}}$である．

(2)　袋の中に文字$\mathrm{𝕆}$が書かれたカードが$n$枚（$n\geqq 2$）あり，合計$n+3$枚のカードが入っている場合を考える．$k$枚目で終了する確率を$p_k$とすると，$p_4=\boxed{\text{(サ)}}$であり，$5\leqq k\leqq n+3$に対しては$p_k=\boxed{\text{(シ)}}$である．いま，終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値を$E_n$とすると，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{E_n}{n}}=\boxed{\text{(ス)}}$が成り立つ．

【４】　$\mathrm{ABCDE}$を$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$4$個の正三角形を側面とする正四角錐とする．

(1)　$▵\mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\boxed{\text{(セ)}}$となる．

(2)　$\overrightarrow{0}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき，$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという．$\overrightarrow{p}=a\overrightarrow{\mathrm{AB}}+b\overrightarrow{\mathrm{AD}}+c\overrightarrow{\mathrm{AE}}$（$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数）が$▵\mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき，$a:b:c=\boxed{\text{(ソ)}}$である．よって，$\left|\overrightarrow{p}\right|=1$かつ$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}>0$となるように$a\text{，}b\text{，}c$を定めると，$\overrightarrow{p}=\boxed{\text{(タ)}}$となる．

(3)　正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$▵\mathrm{CDE}$に，各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\boxed{\text{(チ)}}$となる．また，$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると，$\overrightarrow{\mathrm{HA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}=\boxed{\text{(ツ)}}$であり，$▵\mathrm{AHF}$の面積は$\boxed{\text{(テ)}}$である．

【５】　$a>0$とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を

$f(x)=x^3-5a{x}^2+7a^{2}x$

と定める．また，$t\geqq 0$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t\text{，}x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す．

(1)　$S(0)=\boxed{\text{(ト)}}$である．

(2)　$f(x)$は$x=\boxed{\text{(ナ)}}$で極小値をとる．曲線$y=f(x)$上にあり，$x$の値$\boxed{\text{(ナ)}}$に対応する点を$\mathrm{P}$とする．$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=\boxed{\text{(ニ)}}\text{（}x>0\text{）}$である．

(3)　$S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$\boxed{\text{(ヌ)}}$となる．以下，$a$の値はこの範囲にあるとする．$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする．区間$0\leqq t\leqq c$における$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)\text{，}m(a)$とするとき，$M(a)+m(a)=\boxed{\text{(ネ)}}$となる．