Mathematics
Examination
Test
Archives
【2】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.
平面上で点は軸上に,点は軸上に置かれ,点の座標と点の座標はそれぞれ以上以下の整数であるとする.点に対して次の操作を考える.
操作
点の座標が点の座標がであるとき次の規則に従って点を互いに独立に処理する.
(P1) ならば点をまたはのどちらかに確率ずつで移す.
(P2) ならば点を必ずに移す.
(P3) ならば点をそのままにしておく.
(Q1) ならば点をまたはのどちらかに確率ずつで移す.
(Q2) ならば点を必ずに移す.
(Q3) ならば点をそのままにしておく.
さて,点がともにに置かれている状態から始め,上の操作を回繰り返し行う.
(1) 回の操作の後,点がに置かれている確率はであり,に置かれている確率はである.
(2) 平面上で不等式の表す領域を不等式の表す領域をとする.各回の操作後に点が常に内に置かれているという事象をとし,各回の操作後に点が常に 内に置かれているという事象をとすると,事象の確率はである.
平面上で点を結ぶ線分の長さをとする.ただし点がともにに置かれている場合はとする.
(3) 回の操作を通じてちょうど回だけとなる確率はである.
(4) 回の操作を通じたの最大値の期待値はである.
【4】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.ただし設問(2)において,適切なの値が複数個ある場合は,それらをすべて記入しなさい.
放物線をとする.上に点をとり,におけるの法線ととの交点のうち,と異なるものをとする.またを実数として,点をとおって傾きがの直線をとし,点をとおってと直交する直線をとする.との交点をとする.
(1) 点の座標はである.
(2) 点が点と異なるようにを変化させるときのの面積の最大値はである.またの面積を最大にするの値をすべて求めるとである.
(3) 点とは異なる上の点を考える.となるようなの範囲は
である.
(4) 点が,不等式の表す領域に入るようなの範囲は
である.