2012　上智大学　文,総合人間,外国語学部2月4日実施MathJax

【１】

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$において

$y=\sin x+2(x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

の最大値は$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}$であり，最小値は$-\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である．

【１】

(2)　$xy=4x-y+28$を満たす正の整数$x\text{，}y$の組$(x,y)$は全部で$\boxed{\text{ウ}}$組ある．

【１】

(3)　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$は，$x$軸方向に$\boxed{\text{エ}}\text{，}y$軸方向に${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$だけ平行移動すると，直線$y=-x$と直線$y=3x$の両方に接する．

【１】

(4)　実数$x\text{，}y$が$x^2+xy+2y^2=1$を満たすとき，$y^2$がとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{キ}}\leqq y^2\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{CA}=5$とする．$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}\text{，}$内心を$\mathrm{Q}$とおく．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．

(3)　$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$とおくとき，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．

(4)　$\angle \mathrm{QAB}=\beta$とおくとき，$\cos \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(5)　$\mathrm{AQ}=\boxed{\text{ナ}}$である．

(6)　$\mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$である．

【３】　日本全国から$6$つの市を選ぶ．その$6$つの市に関する条件(A)〜(G)を考える．

• (A)　$6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が存在する．
• (B)　$6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市がただ$1$つ存在する．
• (C)　$6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が$2$つ以上存在する．
• (D)　$6$つの市の人口はすべて$10$万人以上である．
• (E)　$6$つの市の中に，人口$10$万人未満の市が存在する．
• (F)　$6$つの市の人口はすべて$10$万人未満である．
• (G)　$6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市と人口$10$万人未満の市が存在する．

(1)　条件(A)〜(G)の中で，互いに否定条件となるすべての組を以下の選択肢から選べ．もし互いに否定条件となる組で選択肢にないものが存在するときは，z もマークせよ．

選択肢：

• 1.　(A)と(E)
• 2.　(A)と(F)
• 3.　(B)と(C)
• 4.　(B)と(E)
• 5.　(B)と(F)
• 6.　(B)と(G)
• 7.　(D)と(E)
• 8.　(D)と(F)
• 9.　(D)と(G)
• 10.　(E)と(F)
• 11.　(E)と(G)
• 12.　(F)と(G)

(2)　条件(A)〜(G)の中から，(A)であるための十分条件となる，(A)以外の条件をすべて選べ．

(3)　条件(A)〜(G)の中から，(E)であるための十分条件となる，(E)以外の条件をすべて選べ．

(4)　条件(A)〜(G)の中から，(B)であるための必要条件となる，(B)以外の条件をすべて選べ．

(5)　条件(A)〜(G)の中から，(D)であるための必要条件となる，(D)以外の条件をすべて選べ．