2012　上智大学　経済(経営)学部2月7日実施MathJax

【１】

(1)　関数$f(x)$を

$f(x)={\log }_{4}32x-{\log }_{8}64x+{\log }_{16}8x$

とする．$5\leqq f(x)\leqq 10$となるための必要十分条件は

$2^a\leqq x\leqq 2^b\text{，}a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$

である．

【１】

(2)　関数$g(x)$を

$g(x)=4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+2{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+\sqrt{3}\sin x$

とする．$0\leqq x<2\pi$とすると，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pi$のとき$g(x)$は最大値をとる．

【１】

(3)　$m$と$n$を$m\geqq n$を満たす正の整数とする．$3$辺の長さがそれぞれ$m+1\text{，}m\text{，}n$であり，それらの和が$100$以下であるような直角三角形は，全部で$\boxed{\text{オ}}$個ある．また，そのうち面積が最も大きいものの斜辺の長さは$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　直線$y=x-1$上の点$\mathrm{A}(a,a-1)$を通り，放物線$y=x^2$に接する直線を，$l\text{，}m$とする．ただし，$l$の方が$m$よりも傾きが大きいものとする．

(1)　直線$l$の傾きを$a$で表すと

$\boxed{\text{キ}}(a+\sqrt{a^2+\boxed{\text{ク}}a+\boxed{\text{ケ}}})$

である．

(2)　直線$l\text{，}m$と放物線$y=x^2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$と放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積$S$を$a$で表すと

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}{(a^2+\boxed{\text{シ}}a+\boxed{\text{ス}})}^{\frac{3}{2}}$

であり，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$のとき，$S$は最小値${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$をとる．

(3)　放物線$y=x^2$上の点で直線$y=x-1$との距離が最小であるのは$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}})$で，その距離は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$である．

【３】　大きさの同じ$N$個の正方形を，図１のように左端からつめて高さを$3$段までに並べる．このとき，各段の正方形の数はその$1$つ下の段の正方形の数以下とする．例えば，$N=4$の場合，図２のように$4$通りの並べ方がある．

(1)　上のような並べ方は，$N=5$のとき$\boxed{\text{ノ}}$通り，$N=6$のとき$\boxed{\text{ハ}}$通り，$N=7$のとき$\boxed{\text{ヒ}}$通りである．

(2)　高さが$2$段までの並べ方は，$N$が偶数のとき，$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}N+\boxed{\text{ホ}})$通り，$N$が奇数のとき，$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}N+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}})$通りである．

(3)　$N=6n$（$n$は自然数）のとき，高さが$3$段までの並べ方を考える．$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする．図１は$N=12\text{，}m=3$のときの並べ方の一例である．

$m$が偶数のとき，

$a_m=\boxed{\text{モ}}n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}m+\boxed{\text{ヨ}}$

$m$が奇数のとき，

$a_m=\boxed{\text{ラ}}n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}m+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}}$

である．したがって，$N=6n$のとき，高さが$3$段までの並べ方は全部で

$\boxed{\text{ワ}}{n}^2+\boxed{\text{ヲ}}n+\boxed{\text{ン}}$

通りである．