2012　上智大学　法(法律),外国語学部2月10日実施MathJax

【１】

(1)　$f(x)=|2\sin x-\cos 2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}|$とおく．$\sin x=\boxed{\text{ア}}$のとき$f(x)$は最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$をとる．また，$\sin x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}+\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$のとき$f(x)$は最小値$\boxed{\text{キ}}$をとる．

【１】

(2)　$x\text{，}y\text{，}z$は次の条件を満たす実数とする．

$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq {\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}x+2y+z=1$

このとき，$y$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}$最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【１】

(3)　不等式

${\log }_{2}x-6{\log }_{x}2\geqq 1$

の解は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\leqq x<\boxed{\text{セ}}\text{，}x\geqq \boxed{\text{ソ}}$

である．　

【２】　$a\text{，}b$を実数とし，$C_1\text{，}{C}_2$をそれぞれ次の$2$次関数のグラフとする．

$C_1:y=x^2\text{，}{C}_2:y=-{(x-a)}^2+2a+b$

(1)　$C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a$と$b$で表すと

$a^2+\boxed{\text{タ}}a+\boxed{\text{チ}}b\leqq 0$

となる．特に$b$のとりうる値の範囲は$b\geqq \boxed{\text{ツ}}$であり，$b=\boxed{\text{ツ}}$のとき$C_1$と$C_2$はただ$1$つの共有点$(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})$をもつ．

(2)　$b=6$とし，$C_1$と$C_2$は共有点をもつとすると，

$\boxed{\text{ナ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ニ}}$

である．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とすると，$D$の面積$S$は

$S={\displaystyle \frac{1}{3}}{(\boxed{\text{ヌ}}{a}^2+\boxed{\text{ネ}}a+\boxed{\text{ノ}})}^{\frac{3}{2}}$

と表される．$a=\boxed{\text{ハ}}$のとき$S$は最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$をとる．

(3)　$a=\boxed{\text{ハ}}\text{，}b=6$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D_0$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$が$D_0$内を動くとき，$x+2y$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

【３】　座標平面上の点$(x,y)$のうち，$x\text{，}y$がともに整数である点を格子点とよぶ．いま，格子点の集合$A$を次のように定義する．

$A=\{(x,y)|x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}16<x^2+y^2\leqq 36\text{，}x\text{と}y\text{は整数}\}$

(1)　$A$の点は全部で$\boxed{\text{ム}}$個ある．

(2)　格子点上を$1$秒間に右または上に$1$動く点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は原点から出発し，$A$の点の$1$つに到達したら停止する．このとき，$\mathrm{P}$が到達できない$A$の点は全部で$\boxed{\text{メ}}$個ある．以下，$\mathrm{P}$が到達できる$A$の部分集合を$A_0$とする．

(3)　(2)で考えた点$\mathrm{P}$が右に動く確率と上に動く確率をともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．また，各格子点における$\mathrm{P}$の動きは，その点に到るまでの動き方と独立に決まるものとする．

(ⅰ)　原点からの経路の数が最も多い$A_0$の点は$\mathrm{Q}(\boxed{\text{モ}},\boxed{\text{ヤ}})$であり，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$に到達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}$である．

(ⅱ)　原点からの経路の数が$\mathrm{Q}$の次に多い$A_0$の点は全部で$\boxed{\text{ラ}}$個あり，それらの点のいずれかで$\mathrm{P}$が停止する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}$である．

(ⅲ)　$\mathrm{P}$が$A_0$の点のいずれかで停止するまでの時間の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}}$秒である．