2012　上智大学　理工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】

(1)　関数

$f(x)=2\sqrt{3}{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}-\sin x+a\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

の最小値が$\sqrt{3}$であるとする．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}$であり，$f(x)$が最小となるのは$x={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{イ}}}}$のときである．

【１】

(2)　$n$を$5$以上の自然数とする．$1$以上$n$以下の自然数から互いに隣り合わない$2$つを選ぶ組合せは

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}(n-\boxed{\text{エ}})(n-\boxed{\text{オ}})$

通りあり，どの$2$つも隣り合わない$3$つを選ぶ組合せは

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}(n-\boxed{\text{キ}})(n-\boxed{\text{ク}})(n-\boxed{\text{ケ}})$

通りある．ただし，$\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ク}}<\boxed{\text{ケ}}$とする．

【１】

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)\text{，}\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき

$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．また，$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

である．

【２】　$a$を実数とし，放物線$C:y=x^2-2ax+4a$を考える．

(1)　$C$が直線$y=-6x$と接するのは，$a=\boxed{\text{タ}}$または$a=\boxed{\text{チ}}$のときである．ただし，$\boxed{\text{タ}}<\boxed{\text{チ}}$とする．

(2)　$a$がすべての実数を動くとき，$C$の頂点の軌跡の方程式は

$y=\boxed{\text{ツ}}{x}^2+\boxed{\text{テ}}x+\boxed{\text{ト}}$

である．

(3)　$C$が点$(x,y)$を通るような$a$が存在するための必要十分条件は

$(x\boxed{\text{あ}}\boxed{\text{ナ}})\boxed{\text{い}}(y\boxed{\text{う}}\boxed{\text{ニ}})$

である．

(4)　点$(3,\mathrm{-}1)$を通る$C$の接線が存在するための必要十分条件は

$a\boxed{\text{え}}\boxed{\text{ヌ}}$

である．

【３】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．底面$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とおき，頂点$\mathrm{O}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線から距離が$r$以下である点全体からなる円柱を$T$とする．

(1)　$r={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

(2)　正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

(3)　辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．

$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると

$x_1={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{フ}}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$

である．

$x_1\leqq x\leqq \leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}-x^2}$

である．

正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{メ}}}}$

である．

【４】　$\log x$は自然対数，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$a\text{，}b$は$e^{-1}<a<1\text{，}b>0$を満たす実数とする．曲線$C:y=\log x$と直線$l:y=ax+b$とが接しているとすると，

$b=\boxed{\text{モ}}\log a+\boxed{\text{ヤ}}$

が成り立つ．このとき，曲線$C$と$3$つの直線$l\text{，}x=1\text{，}x=e$とで囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$e^{-1}<a<1$の範囲を動くときの$S(a)$の最小値は

$(\boxed{\text{ユ}}e+\boxed{\text{ヨ}})\log \left({\displaystyle \frac{e+\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}\right)+\boxed{\text{ル}}$

で与えられる．

(2)　$k$を正の定数とし，$e^{-k}<t<1$である$t$に対して，

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^k}|e^{-x}-t|dx$

とおく．$t$が$e^{-k}<t<1$の範囲を動くときの関数$f(t)$の最小値を$M(k)$とおくと，

$M(k)={(\boxed{\text{レ}}+e^P)}^2\text{，}$ただし$P={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}}}{\boxed{\text{ワ}}}}k$

となる．このとき

$\underset{k\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{M(K)}{k^2}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヲ}}}{\boxed{\text{ン}}}}$

である．