2012　東京理科大学　経営学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{タ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

　$1$個のサイコロを$1$回投げ，出た目の回数だけ$1$枚の硬貨を投げることにする．このとき，$xy$平面上において，動点$\mathrm{A}$は原点$(0,0)$から出発し，硬貨を投げるごとに，表が出れば$x$軸方向に$1$移動し，裏が出れば$y$軸方向に$1$移動する．ただし，サイコロを投げたとき，どの目の出る確率も${\displaystyle \frac{1}{6}}$で，硬貨を投げたとき，表，裏の出る確率はどちらも${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．

　サイコロの出た目の回数だけ硬貨を投げ終えたときの$\mathrm{A}$の位置を$(x,y)$とする．

(1)　$(x,y)=(0,6)$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}\text{エ}}}}$である．

(2)　$x=y$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}$である．

(3)　$y=0$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}}$である．

(4)　$x=1$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}$である．

【２】　曲線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$から直線$y=x$へ垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．

(1)　点$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表しなさい．

(2)　範囲$x\geqq 1$において，曲線$y=x^2$と直線$y=x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とする．このとき，$S_1$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　曲線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めなさい．ただし，$S_1$は(2)と同じとする．

【３】

(1)　$k\text{，}l\text{，}m\text{，}n$は自然数とする．条件

$k\cdot l\cdot m\cdot n=k+l+m+n\text{，}k\leqq l\leqq m\leqq n$

を満たす組$(k,l,m,n)$をすべて求めなさい．　

【３】

(2)　次の不等式を解きなさい．

${\log }_{2}x-{\log }_{\frac{1}{2}}(4-x)<1$

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$x\geqq 2$のとき，$x^2{e}^{-x}\leqq 4e^{-2}$が成立することを示しなさい．さらに，極限値

$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}$

を求めなさい．

(2)　関数$y=x{e}^{-x}$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかきなさい．

(3)　$a$は実数とする．方程式

$x{e}^{-x}-a=0$

の異なる実数解の個数を，$a$の値によって，求めなさい．

【２】　$p\text{，}q$は$p>0\text{，}q>0$とし，$2$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$をそれぞれ

$f(x)=x^2+px\text{，}g(x)=x^2-qx$

とする．座標平面において，曲線$C_1\text{：}y=f(x)$上の点$(\alpha ,f(\alpha ))$における接線を$l_1$とし，曲線$C_2\text{：}y=g(x)$上の点$(\beta ,g(\beta ))$における接線を$l_2$とする．ただし，$\alpha <0\text{，}\beta >0$である．

(1)　曲線$C_1$と直線$l_1$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とし，曲線$C_2$と直線$l_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1\text{，}{S}_2$を求めなさい．

(2)　原点$(0,0)$において，曲線$C_1$の接線と曲線$C_2$の接線とが直交し，さらに，直線$l_1$と直線$l_2$が一致するとする．このとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$および直線$l_1$によって囲まれる図形の面積を$S$とする．

(a)　$q\text{，}\alpha \text{，}\beta$それぞれを$p$で表しなさい．

(b)　$S$を$p$で表しなさい．

(c)　$p>0$において，$S$の最小値を求めなさい．

【３】　$1$枚のコインを繰り返し投げることにより，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人が次の規則に従ってゲームを行う．

　このとき，$n$回コインを投げた結果，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の持ち点が等しくなっている確率を$P_n$とする．ただし，コインを投げたとき表，裏の出方は同じとする．

(1)　$P_1\text{，}{P}_2$を求めなさい．

(2)　$n$を自然数とするとき，$P_{n+1}$を$P_n$で表しなさい．

(3)　$n$を自然数とするとき，$P_n$を$n$で表しなさい．