2012　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ラ}}$までに当てはまる$0\text{〜}9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は次の関係式を満たすとする．

$a_1=0\text{，}\{\begin{array}{l}{b}_n={\displaystyle \frac{1}{5}}{a}_n+1\\ a_{n+1}=3b_n+2\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，$b_1=\boxed{\text{ア}}$で，$n\geqq 1$に対して$b_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}{b}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$となる．これより，

$b_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\right)}^{n-1}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

となるので，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

となる．また，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}(a_{2n}-a_n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}\text{チ}\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}\text{ト}}}}$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ラ}}$までに当てはまる$0\text{〜}9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　複素数$z=\cos \theta +i\sin \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$に対して，複素数$w$を

$w=(4+3i)z+6i\bar{z}$

で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\bar{z}=\cos \theta -i\sin \theta$は$z$と共役な複素数を表す．いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$w$の実部の最大値は$\boxed{\text{ナ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ニ}}$であり，$w\bar{w}$の最大値は$\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}\text{ノ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}$である．ただし，$\bar{w}$は$w$と共役な複素数を表す．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ラ}}$までに当てはまる$0\text{〜}9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，

$f^{\prime }(x)=2\log x+{\displaystyle \frac{1}{7-2e}}{\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{f(t)}{t}}dt\text{，}f(1)=0$

を満たすとする．ここで，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，

$f(x)=\boxed{\text{フ}}x\log x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}\text{（}x>0\text{）}$

となる．関数$f(x)$は$x=e^{-\frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$のとき，最小値

$-\boxed{\text{モ}}{e}^{-\frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}$

をとる．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$(1,1)$を点$(5,5)$に，点$(1,-7)$を点$(-3,21)$に移す$1$次変換を$f$とする．$f$による点$\mathrm{P}$の像を点$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{P}$に対して内積の条件

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0$ 　　(＊)

を考える．

(1)　$f$を表す行列を求めよ．

(2)　条件(＊)を満たす点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡は$2$直線となる．この$2$直線の方程式を求めよ．

実数$a\geqq 0$に対して，

「点$(a,0)$を中心とする半径$1$の円周上の点$\mathrm{P}$で，条件(＊)を満たすものがちょうど$2$つある」　　(＊＊)

とする．この$2$点を${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$とするとき，$i=1\text{，}2$に対して，${\mathrm{P}}_i$の$f$による像を${\mathrm{Q}}_i$とし，$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_i{\mathrm{Q}}_i$の面積を$S_i$とする．

(3)　上の条件(＊＊)を満たす$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　$S_i$を$y_i$を用いて表せ．また，和$S_1+S_2$の値を$a$を用いて表せ．

【３】　$k>0$として，座標h芸面上の曲線$C:y=e^{kx}$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{P}$における$C$の接線$l_1$が原点$\mathrm{O}$を通るようにとる．また，点$\mathrm{P}$を通り$l_1$と直交する直線を$l_2$とし，図のように，曲線$C\text{，}$直線$l_2\text{，}x$軸，$y$軸の$4$つで囲まれた図形を$A$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標と，直線$l_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(2)　図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(3)　$k$が$k>0$を動くとき，(2)で求めた$V$の最小値と，それを与える$k$の値を求めよ．