2012　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=4a_n+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められた数列$\{a_n\}$を考える．$\alpha$を定数として

$b_n=a_n+\alpha {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおくと$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$のとき，$\{b_n\}$は初項${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}\text{，}$公比$\boxed{\text{ク}}$である等比数列となる．これより

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}({\boxed{\text{シ}}}^n-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\right)}^n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$a_1=1$である数列$\{a_n\}$が$5^{n+1}{a}_{n+1}+24a_{n+1}{a}_n-5^n{a}_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとき

$a_n={\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ソ}}}^{n-1}}{\boxed{\text{タ}}\cdot {\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}^{n-1}-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

【２】　$a={\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{5}}}\text{，}c={\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}}\text{，}d={\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{3}-\sqrt{5}}}$とおく．

(1)　

$abcd=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}}$

である．

(2)　$abc\text{，}abd\text{，}acd\text{，}bcd$の最小値は

${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ウ}}-\boxed{\text{エ}}\sqrt{3}-\boxed{\text{オ}}\sqrt{5}-\boxed{\text{カ}}\sqrt{15}}{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}}$

である．

(3)　$ab+cd\text{，}ac+bd\text{，}ad+bc$の最小値は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}}$

である．

(4)　$a+b\text{，}a+c\text{，}a+d\text{，}b+c\text{，}b+d\text{，}c+d$の最小値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}-\boxed{\text{コ}}\sqrt{3}-\boxed{\text{サ}}\sqrt{5}-\boxed{\text{シ}}\sqrt{15}}{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}}$

である．

(5)　$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}{x}^4-\boxed{\text{ス}\text{セ}}{x}^3+\boxed{\text{ソ}\text{タ}}{x}^2+\boxed{\text{チ}}x-1}{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}}$である．

【３】　数直線上に動点$\mathrm{P}$がある．$1$個のさいころを投げるという試行により$\mathrm{P}$を次の規則にしたがって，数直線上を移動させる．

(A)　出た目の数が偶数であったら負の方向に$1$だけ移動させる．

(B)　出た目の数が$1$であったら$0$だけ移動させる（その点にとどまる）．

(C)　(A)，(B)以外であったら正の方向に$2$だけ移動させる．

最初動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．

(1)　試行を$4$回くり返したとき，規則(A)が$a$回，規則(B)が$b$回適用されたとすると，$a+b$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$以上$\boxed{\text{イ}}$以下の整数全体であり，これを満たす$a\text{，}b$の組合わせは全部で$\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$通りである．

$a=1\text{，}b=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標の値は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$a=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(2)　試行を$4$回くり返したとき，$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}}$である．

(3)　試行を$1$回だけ行ったときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$であり，試行を$4$回くり返したときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

【４】　平面上で点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円の内側に$\mathrm{OP}=1$となる点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$で垂直に交わる$2$直線と円との交点を反時計回りの順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．

(1)　$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{AC}$との距離が${\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}}\sqrt{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}$

である．

(2)　$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{AC}$との距離が$h$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とおくと，

$S^2=-\boxed{\text{キ}}{h}^4+\boxed{\text{ク}}{h}^2+\boxed{\text{ケ}\text{コ}}$

であり，$S$の最大値は$\boxed{\text{サ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{CDP}$の面積を$S_2$とおくと，

$S_1\cdot S_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

が成り立ち，$S_1+S_2$の最小値は$\boxed{\text{タ}}$であり，最大値は$\boxed{\text{チ}}$である．