2012　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を整数とするとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　$a+b+c=10\text{，}a\geqq 1\text{，}b\geqq 1\text{，}c\geqq 1$を満たす整数解$a\text{，}b\text{，}c$の組の総数は$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$である．

(b)　$a+b+c\leqq 10\text{，}a\geqq 1\text{，}b\geqq 1\text{，}c\geqq 1$を満たす整数解$a\text{，}b\text{，}c$の組の総数は$\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}$である．

(c)　$a+b+c\leqq 10\text{，}7\geqq a\geqq 1\text{，}7\geqq b\geqq 1\text{，}7\geqq c\geqq 1$を満たす整数解$a\text{，}b\text{，}c$の組の総数は$\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　$\angle B=2\angle A$を満たす$▵\mathrm{ABC}$について，以下の問いに答えなさい．

(a)　式${\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}}$がとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{ア}}<{\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}}<\boxed{\text{イ}}$

である．

(b)　$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=3$のとき，

$\cos A={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

であり，

$\mathrm{BC}=-\boxed{\text{キ}}+\sqrt{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,2)\text{，}\mathrm{B}(4,0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$（ただし，$m$は実数の定数）がある．$2$点$\mathrm{A}(0,2)\text{，}\mathrm{B}(4,0)$を通る直線を$l$とする．

(a)　放物線$C$と直線$l$が$2$個の異なる共有点をもつのは，

$m<-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}m>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

のときである．

　以下，放物線$C$と直線$l$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え，この$2$個の共有点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．

(b)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を含む）上にあるのは

$m>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

のときである．

(c)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに，線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を含む）上にあるのは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}<m\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

のときである．また，$m$がこの範囲内で動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$をとる．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=x^{\sqrt{x}}$（ただし，$x>0$）について，導関数$y^{\prime }$を求め，$y^{\prime }=0$となる$x$の値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}{y}^2\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^2\\ x>0\\ y>0\end{array}$

で表される領域の面積を求めなさい．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$の外部の点$\mathrm{A}$からこの円に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$の座標を$(s,t)$とする．

(1)　点$\mathrm{A}$の座標が$(a,b)$であるとき，$a\text{，}b$を用いて，点$\mathrm{M}$の座標$(s,t)$を表しなさい．

(2)　点$\mathrm{A}$が直線$2x+3y=12$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めなさい．