2012　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　$1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど$4$回出たところ，または，裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(a)　硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると，

$p_4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{p}_5={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}{p}_7={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}$

である．

(b)　このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$に対して，$x$に関する$2$次方程式

$x^2+(\sqrt{2}\sin 2\theta )x+2\cos \theta =0$

を考える．

(a)　この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは，

$\boxed{\text{ア}\text{イ}}\mathrm{°}<\theta \leqq \boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}\mathrm{°}$

のときである．

　以下，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え，この$2$つの実数解を$\alpha \text{，}\beta$とする．

(a)　無限等比級数

$1+({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }})+{({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }})}^2+\cdots +{({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }})}^n+\cdots$

が収束するのは，

$\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}\mathrm{°}<\theta \leqq \boxed{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}\mathrm{°}$

のときである．

(c)　無限等比級数

$1+({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }})+{({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }})}^2+\cdots +{({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }})}^n+\cdots$

が収束して，その和が$2-\sqrt{2}$となるのは，

$\theta =\boxed{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}\mathrm{°}$

のときである．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$），線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$（$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$）とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる．

(a)　

${\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}}+2\times {\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}}=\boxed{\text{ア}}$

である．

　以下，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$とする．

(b)　$\mathrm{OP}=1$のとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

である．

(c)　線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとるとき，

$\mathrm{OP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}+\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．このとき，

$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cos 3x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2x+\cos x\text{（}0<x<\pi \text{）}$について考える．

(a)　$x={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$のとき，$f(x)$の値$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$を求めなさい．

(b)　関数$f(x)$の極値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$によって表される座標平面上の点の移動（$1$次変換）$f$が条件

「点$\mathrm{P}(x,y)$が直線$y=-x+1$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,y)$の$f$による像${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$はつねに直線$y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{7}{3}}$上にある．また，点$\mathrm{P}(x,y)$が直線$y=2x-1$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,y)$の$f$による像${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$はつねに直線$x=1$上にある」

を満たすとき，$A$を求めなさい．

【３】　座標平面上において，放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$の座標を$(a,b)$とする．

(1)　$a=1\text{，}b=3$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さ$\mathrm{PQ}$を求めなさい．

(2)　$\mathrm{PQ}=4$のとき，$b$を$a$の式で表しなさい．

(3)　$\mathrm{PQ}=4$を満たしながら$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を動かすとき，$b$の最小値を求めなさい．