2012　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　$a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\text{，}b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$とおく．

(1)　${\displaystyle \frac{b}{a}}=\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}\text{，}{\displaystyle \frac{a}{b}}=\boxed{\text{エ}}+\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}$である．

(2)　${\displaystyle \frac{b}{a}}\text{，}{\displaystyle \frac{a}{a}}$を解にもつ$2$次方程式は$x^2-\boxed{\text{キク}}x+\boxed{\text{ケ}}=0$と書くことができる．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ {\displaystyle \frac{1}{a}}& {\displaystyle \frac{1}{b}}\end{array}\right)$とおくとき，$A$の逆行列$A^{-1}$は

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\boxed{\text{コサ}}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\boxed{\text{シス}}}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\boxed{\text{セソ}}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\boxed{\text{タチ}}}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\boxed{\text{ツテ}}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\boxed{\text{トナ}}}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\boxed{\text{ネノ}}}}\end{array}\right)$

と書くことができる．

【２】　$2$つの関数

$x=g(\theta )={\displaystyle \frac{9}{4}}\sin 2\theta \text{，}y=h(x)=\log x$

に対して，関数$g(x)$と関数$h(x)$の合成関数

$f(\theta )=h(g(\theta ))$

を考える．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-\boxed{\text{ア}}\log 2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\log 3$である．

(2)　実数${\theta }_1$が$\sin {\theta }_1+\cos {\theta }_1={\displaystyle \frac{\sqrt{82}}{8}}$を満たすとき，

$f({\theta }_1)=-\boxed{\text{エ}}\log 2+\boxed{\text{オ}}\log 3$

である．

(3)　$f(\theta )$の$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{8}}\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$における微分係数はそれぞれ

$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{8}}\right)=\boxed{\text{カ}}\text{，}{f}^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

となる．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{15}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=8$

を満たしているとする．ここで，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを表し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表すものとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$

となる．

また，$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}$である．

(2)　線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる．このとき，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$\boxed{\text{キ}}:\boxed{\text{ク}}$に内分する点である．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}{x}^3+{\displaystyle \frac{9}{2}}$

と定める．さらに，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)　曲線$C$上の点$(2,f(2))$における接線を$l_1$とおく．直線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　$l_1$を(1)で定めた直線とする．曲線$C$と直線$l_1$は点$(2,f(2))$以外にもう$1$つ共有点をもつ．その共有点の$x$座標を求めよ．

(3)　$m$を実数とし，原点$\mathrm{O}$を通る直線$l_2:y=mx$を考える．曲線$C$と直線$l_2$が共有点をちょうど$2$個もつときの$m$の値を求めよ．

【５】　$x$の関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^x}{\displaystyle \frac{x-t}{t^2+1}}dt$

により定義する．

(1)　$f(0)$の値を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)$を$f(x)$の導関数とする．$f^{\prime }(0)$の値を求めよ．

(3)　下の図(あ)〜(け)の中から$y=f(x)$のグラフであるものを選べ．また，その図を選択した理由を述べよ．ただし，図の中の点$\mathrm{A}$は座標が$(-1,0)$である点である．