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2012 東京理科大学 薬学部B方式

生命創薬学科

2月11日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.ただし 2 桁の数を表す.

  n 2 以上 9 以下の自然数とする. 1 から n までの数字が書いてある n 枚のカードを入れた袋から,カードを順に 2 枚引いて,引いた順に右から並べて 2 桁の数を作り,それらのカードを袋に戻す試行を考える.次の各問いに答えよ.

(1)  n=9 のとき,この試行によって得られた 2 桁の数が 3 の倍数である確率は である.

(2) この試行を 2 回繰返すとき, 1 回目の数が 2 回目の数以上となる確率を P (n ) とする.このとき, P( 5)= である.また, P( n) 7 13 となる最大の n の値は である.

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生命創薬学科

2月11日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.ただし 2 桁の数を表す.

  θ 0 θ π2 を満たす実数とする. xy 平面上に 2 P (cos θ,sin θ) Q ( 32 cosθ, 32 sinθ ) がある.点 R PR :QR=1 :2 を満たす点とする.

(1)  R が直線 y cosθ- xsin θ=0 上にあるとき,それらの点の座標は

( cosθ , sin θ)

( cos θ, sin θ)

である.ただし, > とする.

(2)  R の軌跡は方程式

(x - cos θ) 2+ (y- sin θ) 2=

が表す円 D (θ ) である.

(3)  θ 0 θ π2 を動くとき,(2)で求めた D (θ ) が通過する部分の面積は π である.

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生命創薬学科

2月11日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【3】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.ただし 2 桁の数を表す.

  3 次方程式 x 3-6 x2 +a x+a= 0 が異なる 3 つの実数解 u v w をもち,

(u -1) 3+ (v- 2) 3+ (w-3 )3 =0

が成り立っているとする.ただし a は実数とする.

 このとき u v w の間に成り立つ関係式と a の値は次の 3 通りである.

(1)  w= u+v= a=

(2)  v= u+w= a=

(3)  u= v+w= a=

 ただし,必要ならば,一般に 3 次方程式 a x3+ bx2 +cx +d=0 3 つの解を α β γ とすると,

α+β+ γ=- ba α β+β γ+γ α= ca α βγ =- da

が成り立つことを用いてもよい.

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生命創薬学科

2月11日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【4】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ.ただし 2 桁の数を表す.

  O を原点とする座標空間の 4 A (2 ,0,0 ) B( 0,2, 0) C (1 ,1,2 ) D( 1,1,- 2) について,次の各問いに答えよ.また, 0<m <1 とする.

(1)  AB m: (1- m) に内分する点を P m とし, O Pm m: 1 に内分する点を Qm とする.このとき, Q 15 の座標は ( , , ) である.

(2)  OC m: 1 に内分する点を Rm AD の中点を M とし, Rm M m: (1- m) に内分する点を Sm とすると, S12 の座標は, ( , ,- )

である.

(3)  C Qm OA について,

C Qm OA = 1m+1 (- m2+ m- )

である.したがって,この 2 つのベクトルは垂直にはなりえない.

(4)  C Qm AB が垂直となるような m の値は, m= である.

(5)  m +1m × Qm Sm が最小となるのは m= のときであり,その最小値は である.

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