2012 東京理科大学 理学部B方式2月13日実施

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2012 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(2)と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)と(2)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートにマークせよ.ただし,分数は既約分数(それ以上約分できない分数)の形に表すものとする.

(1) 実数 θ に対し, O( 0,0, 0) を原点とする座標をもつ空間において, 3 P (cos θ,sin θ,0 ) Q (0 ,cosθ ,sinθ ) R (0 ,cos2 θ,sin 2θ ) を考える.

(a)  θ -π θ<π の範囲を動くとき, PQ2 の最大値は であり,最大値を与える θ の値は - π π である.

(b) ベクトル OP OR のなす角を α とする. θ π6 θ π2 の範囲を動くとき, cosα の最大値は であり,最大値を与える θ の値は π である. θ - π6 θ π2 の範囲を動くとき, cosα の最大値は である. θ - π2 θ π2 の範囲を動くとき, cosα の最大値は であり,最大値を与える θ の値は - π である.

2012 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1)と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)と(2)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートにマークせよ.ただし,分数は既約分数(それ以上約分できない分数)の形に表すものとする.

(2) 零行列でない 2 次の正方行列 A= ( ab cd ) が,等式 A 2=4 A を満たしているとする.

(a)  bc= 0 のとき, a+d の値は または である.また, bc 0 のとき, a+d= ad -bc = となる.特に, b=c> 0 とすると,

A=( a ( - a) a ( - a) a - a)

となる.

(b) 自然数 n に対し,

k=1 n C k n 4k 3n- k= n- n

であるから,

(A +3E )n = ( n- n) A+ n E

となる.ここで, E 2 次の単位行列を表す.

2012 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点40点

易□ 並□ 難□

【2】 記号 (0 ,) は,正の実数全体からなる区間を表すものとする. 1 より大きい実数 r と,区間 ( 0, ) で連続な関数 f (x ) に対する,定積分

1r2 f ( x3+ r 6x3 ) 1x dx 1r 3 f( x+ r6x ) 1x dx

について考える.

(1)  r 1 より大きい実数とする.

(a) 定積分 1x 2 ( x3+ r6 x3 ) 1x dx 1r 3 (x +r 6x ) 1x dx を求めよ.

(b) 定積分 1r 2 ( x3+ r6x 3 ) 2 1x dx 1r 3 ( x+ r6x ) 2 1x dx を求めよ.

(2)

(a)  1 より大きいすべての実数 r と区間 (0 ,) で連続なすべての関数 f (x ) に対して等式 1r 2 f (x 3+ r6x 3 ) 1x dx=a 1r 6 f( t+ r6t ) 1t dt が成立するような,定数 a の値を求めよ.

(b)  1 より大きいすべての実数 r と区間 (0 ,) で連続なすべての関数 f (x ) に対して等式 1r 3 f( x+ r 6x ) 1 x dx= b r3 r 6 f( t+ r6t ) 1t dt が成立するような,定数 b の値を求めよ.

(c)  1 より大きいすべての実数 r と区間 (0 ,) で連続なすべての関数 f (x ) に対して等式 1r 2 f( x3+ r6 x3 ) 1x dx =c 1r 3 f (x+ x6 x ) 1x dx が成立するような,定数 c の値を求めよ.

2012 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  a a> 2 であるような実数とする.座表平面上で,曲線 y= 1x C 1 とし,点 (a ,a) を中心とし点 ( 1,1 ) を通る円を C 2 とする.曲線 C 1 と円 C 2 の点 ( 1,1 ) 以外の共有点のうち, x 座標が 1 より小さいものを B とする.点 B から直線 y =x に下ろした垂線と直線 y =x の交点を H とする.

(1) 円 C 2 の方程式を求めよ.

(2) 点 H の座標を求めよ.また,点 H と点 (1 ,1) の距離を求めよ.

(3)  t を正の実数とする.直線 y= x 上にあり点 (1 ,1) からの距離が t である点のうち, x 座標が 1 より大きいものを P とする.点 P を通り直線 y =x に垂直な直線と曲線 C 1 の交点のうち, x 座標が 1 より小さいものを Q とする.このとき,線分 PQ の長さを t を用いて表せ.

(4) 直線 y= x と線分 BH および曲線 C 1 で囲まれた部分を,直線 y= x の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.