2012　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)と(2)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(1)　実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,0,0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{R}(0,\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$を考える．

(a)　$\theta$が$-\pi \leqq \theta <\pi$の範囲を動くとき，${\mathrm{PQ}}^2$の最大値は$\boxed{\text{ア}}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\pi$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\pi$である．

(b)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$であり，最大値を与える$\theta$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\pi$である．$\theta$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．$\theta$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\boxed{\text{シ}}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\pi$である．

【１】　次の(1)と(2)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(2)　零行列でない$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．

(a)　$bc=0$のとき，$a+d$の値は$\boxed{\text{ソ}}$または$\boxed{\text{タ}}$である．また，$bc\ne 0$のとき，$a+d=\boxed{\text{チ}}\text{，}ad-bc=\boxed{\text{ツ}}$となる．特に，$b=c>0$とすると，

$A=\left(\begin{array}{cc}a& \sqrt{(\boxed{\text{テ}}-\boxed{\text{ト}}a)a}\\ \sqrt{(\boxed{\text{ナ}}-\boxed{\text{ニ}}a)a}& \boxed{\text{ヌ}}-\boxed{\text{ネ}}a\end{array}\right)$

となる．

(b)　自然数$n$に対し，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{}_n\mathrm{C}_k{4}^k{3}^{n-k}={\boxed{\text{ノ}}}^n-{\boxed{\text{ハ}}}^n$

であるから，

${(A+3E)}^n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}({\boxed{\text{ヘ}}}^n-{\boxed{\text{ホ}}}^n)A+{\boxed{\text{マ}}}^{n}E$

となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．

【２】　記号$(0,\infty )$は，正の実数全体からなる区間を表すものとする．$1$より大きい実数$r$と，区間$(0,\infty )$で連続な関数$f(x)$に対する，定積分

${\displaystyle {\int }_1^{r^2}}f(x^3+{\displaystyle \frac{r^6}{x^3}}){\displaystyle \frac{1}{x}}dx$と${\displaystyle {\int }_1^{r^3}}f(x+{\displaystyle \frac{r^6}{x}}){\displaystyle \frac{1}{x}}dx$

について考える．

(1)　$r$を$1$より大きい実数とする．

(a)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{x^2}}(x^3+{\displaystyle \frac{r^6}{x^3}}){\displaystyle \frac{1}{x}}dx$と${\displaystyle {\int }_1^{r^3}}(x+{\displaystyle \frac{r^6}{x}}){\displaystyle \frac{1}{x}}dx$を求めよ．

(b)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{r^2}}{(x^3+{\displaystyle \frac{r^6}{x^3}})}^2{\displaystyle \frac{1}{x}}dx$と${\displaystyle {\int }_1^{r^3}}{(x+{\displaystyle \frac{r^6}{x}})}^2{\displaystyle \frac{1}{x}}dx$を求めよ．

(2)

(a)　$1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\infty )$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式${\displaystyle {\int }_1^{r^2}}f(x^3+{\displaystyle \frac{r^6}{x^3}}){\displaystyle \frac{1}{x}}dx=a{\displaystyle {\int }_1^{r^6}}f(t+{\displaystyle \frac{r^6}{t}}){\displaystyle \frac{1}{t}}dt$が成立するような，定数$a$の値を求めよ．

(b)　$1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\infty )$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式${\displaystyle {\int }_1^{r^3}}f(x+{\displaystyle \frac{r^6}{x}}){\displaystyle \frac{1}{x}}dx=b{\displaystyle {\int }_{r^3}^{r^6}}f(t+{\displaystyle \frac{r^6}{t}}){\displaystyle \frac{1}{t}}dt$が成立するような，定数$b$の値を求めよ．

(c)　$1$より大きいすべての実数$r$と区間$(0,\infty )$で連続なすべての関数$f(x)$に対して等式${\displaystyle {\int }_1^{r^2}}f(x^3+{\displaystyle \frac{r^6}{x^3}}){\displaystyle \frac{1}{x}}dx=c{\displaystyle {\int }_1^{r^3}}f(x+{\displaystyle \frac{x^6}{x}}){\displaystyle \frac{1}{x}}dx$が成立するような，定数$c$の値を求めよ．

【３】　$a$を$a>2$であるような実数とする．座標平面上で，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$を$C_1$とし，点$(a,a)$を中心とし点$(1,1)$を通る円を$C_2$とする．曲線$C_1$と円$C_2$の点$(1,1)$以外の共有点のうち，$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=x$に下ろした垂線と直線$y=x$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　円$C_2$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{H}$と点$(1,1)$の距離を求めよ．

(3)　$t$を正の実数とする．直線$y=x$上にあり点$(1,1)$からの距離が$t$である点のうち，$x$座標が$1$より大きいものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$を通り直線$y=x$に垂直な直線と曲線$C_1$の交点のうち，$x$座標が$1$より小さいものを$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．

(4)　直線$y=x$と線分$\mathrm{BH}\text{，}$および曲線$C_1$で囲まれた部分を，直線$y=x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．