2012　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数として，$x$の$4$次関数$f(x)=x^4-a{x}^2+bx$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$s\text{，}t$を異なる実数とする．曲線$y=f(x)$の，$x=s$における接線の傾きと，$x=t$における接線の傾きが等しいとき，$a$を$s$と$t$を用いて表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$が異なる$2$点で共通の接線$l$をもつとし，その接点の$x$座標の一つを$s$とする．

(a)　$a$を$s$を用いて表せ．

(b)　$l$の方程式を，$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　関数$f(x)$が極大値をもつための必要十分条件を$a$と$b$に関する不等式で与えよ．

【２】　$s\text{，}t$を実数とし，$0<s<1$とする．座標空間内の$3$点

$\mathrm{P}((2-s)+s\cos t,0,(2-s)+s\sin t)\text{，}$

$\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{2-s}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}\cos t,{\displaystyle \frac{2-s}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}\cos t,(2-s)+s\sin t)\text{，}$

$\mathrm{R}(0,0,(2-s)+s\sin t)$

について次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．

　点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる図形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．

(3)　$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．

(4)　$t$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．

(5)　$t$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．

(6)　$t$が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．

(7)　上の(5)，(6)の$V_1\text{，}{V}_2$に対して，$s$が${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq s\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．