2012 東京理科大学 理学部B方式2月12日実施MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2012 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1)〜(4)で配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ.ただし, 2 桁の数を表す.値が根号を含む場合は,根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする.また,分数は既約分数を表すものとする.

(1)  1 から 9 までの番号が書かれた 9 個のボールが袋に入っている.この袋の中から 1 個のボールを取り出し,その番号を確認してからもとに戻す試行を考える.

(a) この試行を 3 回行ったとき,同じ番号のボールを少なくとも 2 回取り出す確率は である.

(b) この試行を 2 回行ったとき,取り出したボールの番号の差が 1 以下となる確率は である.

2012 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

(1)〜(4)で配点30点

配点35点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ.ただし, 2 桁の数を表す.値が根号を含む場合は,根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする.また,分数は既約分数を表すものとする.

(2)  t t> 1 をみたす実数とし, xy 平面上で次の方程式で表される 3 直線 l 1 l2 l3 を考える:

l1: tx- y=0

l2: x-t y-t2 =0

l3: x+t y-t2 =0

l1 l2 l3 で囲まれる三角形の面積を S (t ) とし,この三角形の x 軸の上側の部分の面積を S1 (t ) 軸の下側の部分の面積を S 2( t) とする.

(a)  S2 (t) =2 S1 (t ) となる t の値は t= である.

(b)  S( t)= t t - であり, S( t) t で微分して符号を調べることにより, S( t) t =( ) で最小値をとることがわかり,最小値は

7 ( )

となる.

2012 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1)〜(4)で配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ.ただし, 2 桁の数を表す.値が根号を含む場合は,根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする.また,分数は既約分数を表すものとする.

(3)  p を実数とし,方程式 x 3-p x2- 13 4 x+ 15 8= 0 3 つの実数解 a b c a >b>c をもつとする. a+c= 2b をみたすとき,

a= b= c=- p=

である.

2012 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1)〜(4)で配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の   内のからにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ.ただし, 2 桁の数を表す.値が根号を含む場合は,根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする.また,分数は既約分数を表すものとする.

(4)  O を原点とする空間内に 3 A B C がある.

| OA |= 2 | OB |= 1 | OC |= 3

であり, OA OB OC のどの 2 つのなす角も π3 であるとする. G ABC の重心とし, M AB の中点, N BC の中点, L MN の中点とする.このとき,

| OG | = | GL |=

である.

2012 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点35点

易□ 並□ 難□

【2】 自然数 n に対して, 3 次曲線 C n:y= x( x-n) (x -n-1 ) を考え,原点 O を通る C n の接線で,接点が原点以外のものを l n とする.また, Cn の原点における接線と C n で囲まれる部分の面積を S n とし, ln C n で囲まれる部分の面積を T n とする.次の問いに答えよ.

(1)  ln の方程式を求めよ.

(2)  Sn Tn を求め,さらに, T nSn を求めよ.

(3)  l1 と平行な C 1 の接線で, l1 と異なるものを l とする. l の方程式を求めよ.

(4)  l は(3)におけるとおりとする.次の 4 直線で囲まれる部分を x 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積を求めよ.

l1

l

l1 C 1 と接する点を通り, y 軸に平行な直線

l C 1 と接する点を通り, y 軸に平行な直線

2012 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】  {θ k} を初項 0 公差 π4 の等差数列, { rk } を初項 1 公比 12 の等比数列とし,自然数 k に対して,行列 Ak B k

Ak= ( rk cos θk rk sinθ k rksin θk -r kcos θk ) Bk =( rk cos θk -rk sin θk -rk sin θk -rk cos θk )

とおく. Ck= Ak Ak+ 1 Dk =Bk Bk +1 とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  Ck k を用いて表せ.

(2)  Dk k を用いて表せ.

(3)  m を自然数とするとき,次の行列の和

( 1 rk rk +1 C k) 2+ ( 1rk r k+1 C k) 4+ ( 1rk rk +1 Ck )6 ++ ( 1rk rk +1 Ck) 2m

を求めよ.

(4)  Ck 2 Dk2 を求めよ.

(5) 次の行列の和

C1 2 D12 +2 C2 2 D2 2+3 C3 2 D3 2+ +n Cn2 D n2

( xn yn zn wn ) とするとき, limn xn lim n yn lim n zn limn wn を求めよ.ただし,必要ならば,実数 a a> 1 に対して, limn n an =0 が成り立つことを用いてよい.

inserted by FC2 system