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2012-13442-1201
2012 東京理科大学 理学部B方式
数,物理,化学科
2月12日実施
(1)〜(4)で配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 次の 内のアからモにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ.ただし, は 2 桁の数を表す.値が根号を含む場合は,根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする.また,分数は既約分数を表すものとする.
(1) 1 から 9 までの番号が書かれた 9 個のボールが袋に入っている.この袋の中から 1 個のボールを取り出し,その番号を確認してからもとに戻す試行を考える.
(a) この試行を 3 回行ったとき,同じ番号のボールを少なくとも 2 回取り出す確率は ア イ ウ エ である.
(b) この試行を 2 回行ったとき,取り出したボールの番号の差が 1 以下となる確率は オ カ キ ク である.
2012-13442-1202
配点35点
(2) t を t> 1 をみたす実数とし, xy 平面上で次の方程式で表される 3 直線 l 1 ,l2 , l3 を考える:
l1: t⁢x- y=0
l2: x-t⁢ y-t2 =0
l3: x+t⁢ y-t2 =0
l1 ,l2 , l3 で囲まれる三角形の面積を S⁡ (t ) とし,この三角形の x 軸の上側の部分の面積を S1⁡ (t ) , 軸の下側の部分の面積を S 2⁡( t) とする.
(a) S2⁡ (t) =2⁢ S1⁡ (t ) となる t の値は t= ケ である.
(b) S⁡( t)= t コ t サ - シ であり, S⁡( t) を t で微分して符号を調べることにより, S⁡( t) は t =( ス セ ) ソ タ で最小値をとることがわかり,最小値は
7 チ ⁢ ( ツ テ ) ト ナ
となる.
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(3) p を実数とし,方程式 x 3-p⁢ x2- 13 4⁢ x+ 15 8= 0 は 3 つの実数解 a , b ,c (a >b>c ) をもつとする. a+c= 2⁢b をみたすとき,
a= ニ ヌ ,b= ネ ノ ,c=- ハ ヒ ,p= フ ヘ
である.
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(4) O を原点とする空間内に 3 点 A , B ,C がある.
| OA→ |= 2 , | OB→ |= 1 , | OC→ |= 3
であり, OA→ , OB→ , OC→ のどの 2 つのなす角も π3 であるとする. G を ▵ABC の重心とし, M を AB の中点, N を BC の中点, L を MN の中点とする.このとき,
| OG→ | = ホ マ , | GL→ |= ミ ム メ モ
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【2】 自然数 n に対して, 3 次曲線 C n:y= x⁢( x-n) ⁢(x -n-1 ) を考え,原点 O を通る C n の接線で,接点が原点以外のものを l n とする.また, Cn の原点における接線と C n で囲まれる部分の面積を S n とし, ln と C n で囲まれる部分の面積を T n とする.次の問いに答えよ.
(1) ln の方程式を求めよ.
(2) Sn , Tn を求め,さらに, T nSn を求めよ.
(3) l1 と平行な C 1 の接線で, l1 と異なるものを l ′ とする. l′ の方程式を求めよ.
(4) l′ は(3)におけるとおりとする.次の 4 直線で囲まれる部分を x 軸のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積を求めよ.
・ l1
・ l′
・ l1 が C 1 と接する点を通り, y 軸に平行な直線
・ l′ が C 1 と接する点を通り, y 軸に平行な直線
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【3】 {θ k} を初項 0 , 公差 π4 の等差数列, { rk } を初項 1 , 公比 12 の等比数列とし,自然数 k に対して,行列 Ak ,B k を
Ak= ( rk ⁢cos⁡ θk rk⁢ sin⁡θ k rk⁢sin ⁡θk -r k⁢cos ⁡θk ) ,Bk =( rk ⁢cos⁡ θk -rk ⁢sin⁡ θk -rk ⁢sin⁡ θk -rk ⁢cos⁡ θk )
とおく. Ck= Ak⁢ Ak+ 1 ,Dk =Bk ⁢Bk +1 とするとき,次の問いに答えよ.
(1) Ck を k を用いて表せ.
(2) Dk を k を用いて表せ.
(3) m を自然数とするとき,次の行列の和
( 1 rk ⁢rk +1 ⁢ C k) 2+ ( 1rk ⁢r k+1 ⁢ C k) 4+ ( 1rk ⁢rk +1 ⁢ Ck )6 +⋯+ ( 1rk ⁢rk +1 ⁢ Ck) 2⁢m
を求めよ.
(4) Ck 2⁢ Dk2 を求めよ.
(5) 次の行列の和
C1 2⁢ D12 +2⁢ C2 2⁢ D2 2+3 ⁢C3 2⁢ D3 2+⋯ +n⁢ Cn2 ⁢D n2
を ( xn yn zn wn ) とするとき, limn→ ∞⁡ xn ,lim n→∞ ⁡yn ,lim n→∞ ⁡zn , limn→ ∞⁡ wn を求めよ.ただし,必要ならば,実数 a ( a> 1 ) に対して, limn →∞ ⁡ n an =0 が成り立つことを用いてよい.