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2012-13442-1401
2012 東京理科大学 全学部C方式
2月13日実施
配点20点
易□ 並□ 難□
【1】 数直線上を動く点 P が原点の位置にある. 1 個のさいころを投げて, 3 の倍数が出たときに P は正の向きに 1 だけ進み,他の目が出たときには P は負の向きに 1 だけ進む.さいころを n 回続けて投げたときの点 P の座標を x n とする.
このとき, x4 =0 かつ x7= 1 となる確率は
ア イ ウ エ オ
である.また, x2 ≠0 かつ x 7=3 となる確率は
カ キ ク ケ コ サ
である.
2012-13442-1402
30点
【2】 次の連立不等式
{ x2 -2⁢x -15<0 2⋅ 32⁢ x+1 +7⋅ 3x-3 ≧0
を満たす実数 x の値の範囲は
(a) ア ≦x< (b) イ
関数
f⁡( x)= x3- 9⁢x2 +24⁢x -17
は区間 (a) ア ≦x< (b) イ において, x= (c) ウ のとき,最小値 (d) エ オ をとり, x= (e) カ のとき,最大値 (f) キ をとる.
また,曲線 y =f⁡( x) と曲線
y=x 3-11 ⁢x2 +12⁢x -15
で囲まれる部分の面積は
ク ケ コ サ シ
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15点
【3】 空間において, 4 点 P ( -1,14 ,2) ,A ( 2,-1 ,0) ,B ( 1,0,- 2) ,C ( 0,1, 1) がある.このとき, ▵ABC の面積は ア イ ⁢ ウ である.点 P から 3 点 A ,B , C が定める平面に垂線 PH を下ろしたとき,点 H の座標は
(- エ , オ , カ )
であり,線分 PH の長さは キ ⁢ ク である.
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25点
【4】 a1 =1 4 ,a n+1 = 2⁢an ( 2⁢n+5 )⁢a n+2 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) によって定められる数列 { an } に対して
limn →∞ n⁢an = ア
limn→ ∞n 2⁢a n= イ
また,初項から第 n 項までの和は
∑k= 1n ak = ウ エ - (あ) (い) × (う)
である.ただし, (い)< (う) である.
(あ),(い),(う)の解答群
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35点
【5】 関数
f⁡( x)= 2⁢3 ⁢sin⁡ x-cos⁡ 2⁢x+ 1 ( 0≦x< 2⁢π )
を考える.
f⁡( x) は x = ア イ ⁢ π のとき,最大値 ウ + エ ⁢ オ をとり,
x= カ キ ⁢ π, ク ケ ⁢ π (ただし, カ キ < ク ケ )
のとき,最小値 - コ サ をとる.
また,極大値を与える x の値のうち,最大のものは x = シ ス ⁢ π で,そのときの極大値は セ - ソ ⁢ タ である.
曲線 y =f⁡( x) ( 0≦x≦ π ) と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は
1 チ ⁢ ( ツ テ ⁢ π+ ト ナ ⁢ ニ ) ⁢π
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【6】 行列 A , P を
A= 16⁢ (5 -1 8- 4) ,P= (1 1 a1 )
とし, P は逆行列 P -1 をもち, P-1 ⁢A⁢ P=( x0 0y ) と表せるとする.ただし, a ,x , y は実数とする.
このとき, a= (a)⁢ ア となり,
P-1 = 1 イ ⁢( (b) ウ (c)⁢ エ (d) ⁢ オ (e) カ )
である.また,
x= (f)⁢ キ ク ,y= (g) ⁢ ケ コ
になる.
ここで, An= ( pn qn rn sn ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) とおくと,
∑n= 1∞ pn = (h) サ シ