2012　東京理科大学　工学部二部3月3日実施MathJax

【１】　$x$の関数$f(x)=a-{\displaystyle \frac{3}{2^x+1}}$を考える．ただし，$a$は実数の定数である．

(1)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$のとき，$f(-x)=-f(x)$が常に成り立つ．

(2)　$a$が設問(1)の値のとき，関数$f(x)$の逆関数は

$f^{-1}(x)={\log }_2({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}-\boxed{\text{オ}}x}}-1)$

である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x^2}}}$（ただし，$x>0$）とする．微分係数$f^{\prime }(\alpha )=0$となる$\alpha$の値は

$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

である．ここで，$\sqrt[3]{x}$は$x$の$3$乗根であり，$e^{x^2}$は$x^2$を指数とする$e$の累乗である．ただし，$e$は自然対数の底である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　関数$f(x)=\log (2+\tan x)(\text{ただし，}0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．微分係数$f^{\prime }(\alpha )=2$となる$\alpha$に対して，

$f(\alpha )=\log \boxed{\text{ウ}}$

である．ここで，$\log$は自然対数を意味する記号である．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，点$\mathrm{A}(1,-1,-1)\text{，}\mathrm{B}(0,4,8)\text{，}$および$\mathrm{C}(4,8,-1)$をとる．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{ア}}\times \sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が定める平面上に点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たすようにとるとき，$\mathrm{H}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}},\boxed{\text{オ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}})$である．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{ク}\text{ケ}}$である．

【４】　$2$次の正方行列$A$によって表される座標平面上の点の移動（$1$次変換）$f$が条件

「点$\mathrm{P}(x,y)$が直線$y=2x+1$上にあるとき，点$\mathrm{P}(x,y)$の$f$による像${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$は常に点$(3,5)$である」

を満たすとき，

$A=\left(\begin{array}{cc}-\boxed{\text{ア}}& \boxed{\text{イ}}\\ -\boxed{\text{ウ}\text{エ}}& \boxed{\text{オ}}\end{array}\right)$

である．

【５】　座標平面において，$2$つの曲線$C_1\text{：}y=2^x$と$C_2\text{：}y=4^{-x+3}$がある．曲線$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．

(2)　曲線$C_1$と$C_2$および$y$軸とで囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{ウ}\text{エ}}\times {\displaystyle \frac{1}{\log 2}}$である．ここで，$\log 2$は$2$の自然対数である．

(3)　曲線$C_1$の点$\mathrm{P}$における接線と$y$軸との交点を$\mathrm{A}$とし，曲線$C_2$の点$\mathrm{P}$における接線と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とするとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積は$\boxed{\text{オ}\text{カ}}\times \log 2$である．