2012　東邦大学　薬学部MathJax

【１】　袋の中に$0$と書かれた玉が$1$個，$1$と書かれた玉が$3$個，$2$と書かれた玉が$1$個，全部で$5$個入っている．袋の中から$2$個の玉を同時に取り出し，玉に書かれた$2$つの数の和$s_1$を記録し，取り出した玉を袋に戻す．この操作をもう$1$回繰り返し，玉に書かれた$2$つの数の和$s_2$を記録する．$s_1\text{，}{s}_2$の積$s_1{s}_2$で得点をつけるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$s_1=1$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$である．

(2)　得点が$2$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$である．

(3)　得点の期待値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CA}=2$である三角形$\mathrm{ABC}$がある．$0<x<\sqrt{2}$を満たす実数$x$について，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上のそれぞれに点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を$\mathrm{AP}=x\text{，}\mathrm{BQ}=x\text{，}\mathrm{CR}=x^2$であるようにとるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\sin A={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}\sin B={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$x$を用いて表すと

$S={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{16}}(\boxed{\text{タ}}{x}^3-\boxed{\text{チ}}{x}^2-\boxed{\text{ツ}\text{テ}}x+\boxed{\text{ト}\text{ナ}})$

である．

また，$x=1\text{，}{\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ニ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}}$のとき，$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}\text{マ}}}}$である．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{CA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=s\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$とおくとき，$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}\text{ヨ}}}}$である．

(3)　辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$は互いに垂直で，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OC}=1$のとき，$\mathrm{OR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}\sqrt{\boxed{\text{リ}\text{ル}}}}{\boxed{\text{レ}\text{ロ}}}}$である．

【４】　$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2+x+4$と$2$次関数$g(x)=-x^2+4$がある．

(1)　$f(x)$は$0<x<2$の範囲で極大値と極小値をとることを示せ．

　以下，$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとるとし，$p={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$とおく．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(p,f(p))$における接線の方程式を求めよ．

(3)　$2$点$(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}(\beta ,f(\beta ))$を通る直線の傾きを求めよ．

(4)　$(\alpha ,0)\text{，}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}(\beta ,f(\beta ))\text{，}(\beta ,0)$を頂点とする四角形の面積を$S_1\text{，}$曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=\alpha \text{，}x=\beta$で囲まれる部分の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

【５】　$n$は正の整数とし，$2$または$4$からなる順列（$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$）の総数を$T_n$とおく．また，このうち${\log }_8(x_1{x}_2\cdots x_n)$が整数になる順列の個数を$a_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$について，$T_n\text{，}{a}_n\text{，}{T}_n-a_n$を求め，解答用紙の表に書き入れよ．

(2)　$a_n$と$a_{n-1}$の間にどのような関係式が成り立つか．また，その理由を説明せよ．ただし，$n\geqq 2$とする．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．