2012　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】　$p\text{，}q$を$1$でない自然数とする．このとき，

$2(1-{\log }_{2}10){\log }_{5}p+{\log }_2{\displaystyle \frac{2012}{q}}=0$

を満たす$p$の値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【２】　赤球と白球をあわせて$12$個の球が入っている袋がある．この袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき，それらが同じ色である確率は${\displaystyle \frac{31}{66}}$である．袋には白球よりも赤球が多く入っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　袋に赤球は$\boxed{\text{イ}}$個入っている．

(2)　この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，赤球が少なくとも$1$個含まれる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{エ}}$はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$はいずれも$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に直交し，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$60$度であり，

$\mathrm{AC}=\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OA}=3$

である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．ただし，$\boxed{\text{カ}}$はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

【４】　$1$と$2$を用いて$n$桁の自然数を作る．このような$n$桁の自然数のうち，$3$の倍数となる数の個数を$a_n\text{，}$そうでない数の個数を$b_n$とする．

$a_1=\boxed{\text{ク}}\text{，}{b}_1=\boxed{\text{ケ}}$

である．また，

$a_n+b_n={\boxed{\text{コ}}}^n$

であり，さらに，実数$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$を用いて，

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=p{a}_n+q{b}_n\\ b_{n+1}=r{a}_n+s{b}_n\end{array}$

と表すことができる．

$p=\boxed{\text{サ}}\text{，}q=\boxed{\text{シ}}$

である．ここで，$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$とおくと，

$c_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{2}}{c}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{2}}\text{，}{c}_1=\boxed{\text{ソ}}$

となる．よって，

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{3}}{(\boxed{\text{チ}})}^n+{\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ツ}}}^n}{3}}$

である．

【５】　$k$を実数とする．$3$次関数

$f(x)=-x^3+k{x}^2+kx+1$

が$x=\alpha$で極小値をとり，$x=\beta$で極大値をとる．$3$点$\mathrm{A}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}\mathrm{B}(\beta ,f(\beta ))\text{，}\mathrm{C}(\beta ,f(\alpha ))$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすとき，

$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{3}}k\text{，}\alpha \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{3}}k$

である．したがって，

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}\pm \boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{2}}$

となる．ただし，$\boxed{\text{ニ}}$は自然数，$\boxed{\text{ヌ}}$はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

【６】　$0\leqq x\leqq 1$において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}1-2x\leqq f(x)\\ x\leqq f(x)\\ f(x)\leqq 1\end{array}$

を満たす$2$次関数$f(x)$で，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$の値を最小にする関数は，

$f(x)=\boxed{\text{ネ}}{x}^2+\boxed{\text{ノ}}x+\boxed{\text{ハ}}$

であり，その最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$となる．ただし，$\boxed{\text{フ}}$はできるだけ小さい自然数で答えることとする．