2012　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】　数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は原点を出発して，さいころを$1$回投げるごとに，$2$以下の目が出たときは正の向きに$1$だけ進み，$3$以上の目が出たときには負の向きに$2$だけ進むものとする．

(1)　さいころを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にくる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{イ}}$はできるだけ小さな自然数で答えること．

(2)　さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$-4$または$2$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{エ}}$はできるだけ小さな自然数で答えること．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=5\text{，}\mathrm{AB}=7$とする．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{OA}$の中点，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点とする．さらに点$\mathrm{R}$は辺$\mathrm{OB}$上にあり$\angle PQR=90\mathrm{°}$である．このとき，

$\mathrm{OR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\mathrm{OB}$

である．ただし，$\boxed{\text{カ}}$はできるだけ小さな自然数で答えること．

【３】　曲線$x^2+y^2=100$（$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$）を$C$とする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は$C$上にあり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致するときは，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{P}$に等しいものとする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標が$(6,8)$であり，点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は，

${(x-\boxed{\text{キ}})}^2+{(y-\boxed{\text{ク}})}^2=\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}\leqq y\leqq \boxed{\text{ス}}$

である．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が$C$上を自由に動くとき，点$\mathrm{R}$の動く範囲の面積は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\pi +\boxed{\text{タ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ソ}}$はできるだけ小さな自然数で答えること．

【４】　$1$辺の長さが$1$である正九角形$\mathrm{ABCDEFGHI}$の対角線$\mathrm{AE}$の長さは，

$\boxed{\text{チ}}+\boxed{\text{ツ}}\cos 20\mathrm{°}$

である．ただし，$\boxed{\text{ツ}}$はできるだけ小さい自然数で答えること．

【５】　$1\leqq n\leqq 999$を満たす各自然数$n$に対し，$f(n)$を次のように定める．

$n$の$100$の位，$10$の位，$1$の位の値を，それぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，

$f(n)=\alpha +2\beta +3\gamma$

とする．

(1)　$1\leqq n\leqq 998$とする．$f(n+1)<f(n)$となるとき，自然数$n$の$1$の位の値は$\boxed{\text{テ}}$であり，このとき$f(n)-f(n+1)$は$\boxed{\text{ト}}$または$\boxed{\text{ナ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ト}}<\boxed{\text{ナ}}$とする．

(2)　$1\leqq n\leqq 999$とする．$f(n)=n$となる自然数$n$は$\boxed{\text{ニ}}$または$\boxed{\text{ヌ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ニ}}<\boxed{\text{ヌ}}$とする．

【４】

(1)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}}$の和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{ツ}}$はできるだけ小さな自然数で答えること．

【４】

(2)　行列

$A={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

に対して，

$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

となる最小の自然数$n$は$\boxed{\text{テ}}$である．

【４】

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}(2-x^2\sin x)dx=\boxed{\text{ト}}$である．

【５】　実数$a$に対して関数$f(a)$を，

$f(a)={\displaystyle {\int }_1^2}|{\displaystyle \frac{a}{x}}-1|dx$

と定める．$a$が$1\leqq a\leqq 2$の範囲を動くとき，$f(a)$の最小値は$\boxed{\text{ナ}}+\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$であり，最大値は$\boxed{\text{ネ}}+\boxed{\text{ノ}}\log \boxed{\text{ハ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ヌ}}\text{，}\boxed{\text{ハ}}$はできるだけ小さな自然数で答えること．