2012　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　実数$a\text{，}b$が$0\leqq a\leqq \pi \text{，}a<b$をみたすとき，

$I(a,b)={\displaystyle {\int }_a^b}{e}^{-x}\sin xdx$

とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．

$\underset{b\to \infty }{\lim }I(a,b)=0$

が成立するように$a$を定めよ．

【１】　次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし，かつ，ある行列

$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)}^{-1}$

に対して$AB=BA$をみたしている．ただし$\alpha \ne \beta$とする．このような行列$A$をすべて求めよ．

【１】　次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$c$を正の実数として，漸化式

$a_n={\displaystyle \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n}}\text{（}n\geqq 1\text{），}{a}_0=c$

で定義される数列$\{a_n\}$を考える．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty$となるような$c$の範囲を求めよ．

【１】　次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　実数$t$が$1\leqq t\leqq 2$の範囲で動くとき，$xy$平面の直線

$y=(3t^2-4)x-2t^3$

が通る範囲を$H$とする．$H$の内，直線$x=1$と$x={\displaystyle \frac{20}{9}}$ではさまれる部分の面積を求めよ．

【２】　空間に点$\mathrm{O}$と三角錐$\mathrm{ABCD}$があり，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}\mathrm{OD}=\sqrt{5}\text{，}$

$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{0}$

をみたしている．三角錐$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径を求めよ．

【３】　実数係数の$x$の多項式で表された関数$f(x)$は，導関数$f^{\prime }(x)$がすべての実数$x$に対して$f^{\prime }(x)>0$をみたし，かつ，$f^{\prime }(x)$は極大値をもつとする．実数$s$に対して，点$(s,f(s))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$s$の関数として$g(s)$と表す．

(1)　導関数$g^{\prime }(s)$を求めよ．

(2)　関数$g(s)$は極大値と極小値をもつことを示せ．

【４】　円$C$とその内部の点${\mathrm{P}}_0$が与えられている．初め${\mathrm{P}}_0$にある動点が，円周上の点${\mathrm{P}}_1$まで線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$上を動き，${\mathrm{P}}_1$からは，${\mathrm{P}}_1$における円$C$の接線$l_1$と線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$のなす角が$l_1$と線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$のなす角に等しくなるように向きを変えて，円周上の点${\mathrm{P}}_2$まで線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$上を動く（図例１）．以下，自然数$n$について，円周上の点${\mathrm{P}}_n$に至ったあとは，${\mathrm{P}}_n$における円$C$の接線$l_n$と線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$のなす角が$l_n$と線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$のなす角に等しくなるように向きを変え，円周上の点${\mathrm{P}}_{n+1}$まで線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$上を動き，この動きを繰返す（図例２）．線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$と接線$l_1$のなす角を$\alpha (0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．

(1)　${\mathrm{P}}_m={\mathrm{P}}_1$となる$3$以上の自然数$m$が存在するような角$\alpha$をすべて決定せよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_1$の位置によって角$\alpha$は変化し得る．角$\alpha$が最大となる${\mathrm{P}}_1$の位置，および最小となる${\mathrm{P}}_1$の位置を求めよ．

(3)　${\mathrm{P}}_4={\mathrm{P}}_1$となる点${\mathrm{P}}_1$がとれるような点${\mathrm{P}}_0$の存在範囲を求めよ．