2012　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　次の等式

${\log }_{3}x-{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{9}x}}={(-1)}^x$

を満たす正の整数$x$の値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　定数関数でない関数$f(x)$が

$f(x)=x^2-{\displaystyle {\int }_0^1}{(f(t)+x)}^{2}dt$

を満たすとき，$f(x)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$0\mathrm{°}<\theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．

$a_1=\cos \theta \text{，}{a}_{n+1}=2{a_n}^2-1$

　このとき，$a_4=a_5$となる$\cos \theta$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,1)\text{，}$$\mathrm{C}(0,1)$がある．実数$a$に対して$4$点$\mathrm{P}(a+1,a)\text{，}$$\mathrm{Q}(a,a+1)\text{，}$$\mathrm{R}(a-1,a)\text{，}$$\mathrm{S}(a,a-1)$をとる．このとき，次の設問に答えよ．

(1)　長方形$\mathrm{OABC}$と正方形$\mathrm{PQRS}$が共有点を持つような$a$の範囲を求めよ．

(2)　長方形$\mathrm{OABC}$と正方形$\mathrm{PQRS}$の共通部分の面積が最大となる$a$の値と，そのときの共通部分の面積を求めよ．

【３】　平面上に点$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_{100}$がある．ただし，同じ点があってもよい．また，平面上の点$\mathrm{P}$に対して，

$f(\mathrm{P})={\displaystyle \sum _{i=1}^{100}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{A}}_i}\right|}^2$

とする．また，$f(\mathrm{P})$の最小値を$m$とし，平面上の点$\mathrm{C}$は$f(\mathrm{C})=m$を満たすとする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a_i}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_i}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}100\text{）}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a_i}$を用いて表せ．

(2)　次の条件

(＊)　${\displaystyle \sum _{i=1}^{100}}({\displaystyle \sum _{j=1}^{100}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_i{\mathrm{A}}_j}\right|}^2)={\displaystyle \sum _{j=1}^{100}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_j}\right|}^2+{\displaystyle \sum _{j=1}^{100}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_j}\right|}^2$$+\cdots +{\displaystyle \sum _{j=1}^{100}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{A}}_{100}{\mathrm{A}}_j}\right|}^2=4000$

が成立しているときの$m$の値を求めよ．

(3)　(2)における条件(＊)が成立しているとき，集合

$\{{\mathrm{A}}_i|\left|\overrightarrow{\mathrm{C}{\mathrm{A}}_i}\right|\geqq 2\text{，}1\leqq i\leqq 100\text{，}i\text{は整数}\}$

の要素の個数の最大値を求めよ．