2012　南山大　経営学部2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　関数$f(\theta )={\sin }^2\theta -\sqrt{3}\cos \theta +2\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$は，$\theta =\boxed{\text{ア}}$で最大値$\boxed{\text{イ}}$をとる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　実数$x\text{，}y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき，$4^x+8^y$は$x=\boxed{\text{ウ}}$で最小値$\boxed{\text{エ}}$をとる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　実数$a$に対して，$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が${\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$a=\boxed{\text{オ}}$である．また，この方程式の${\displaystyle \frac{1}{3}}$以外の解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\alpha }^{18}+{\beta }^{18}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{3^9}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,0)$を通る傾き$m$の直線$l$がある．$l$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$\boxed{\text{キ}}$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さが${\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}}$のとき，$m=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり，極大値が$7$より大きいとき，$a=\boxed{\text{ケ}}$で，その極大値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　放物線$C:y=x^2-kx\text{（}k>0\text{）}$と直線$l:y=3x$がある．$C$と$l$の交点で原点$\mathrm{O}$以外の点を$\mathrm{A}$とする．$C$と$l$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)　$\mathrm{A}$の座標を$k$で表せ．

(2)　$S_1$を$k$で表せ．

(3)　$\mathrm{A}$を通り$x$軸に垂直な直線と，$x$軸および$C$で囲まれた部分の面積を$S_3$とする．$S_3$を$k$で表せ．

(4)　(3)の$S_3$と$S_2$が等しいとき，$k$の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,0)$を通る傾き$m$の直線$l$がある．$l$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$m=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　長さ$10\mathrm{cm}$のひもが$6$本，長さ$20\mathrm{cm}$のひもが$3$本入った箱がある．この箱から$3$本ずつひもを取り出すことを，$3$回行う．ただし，取り出したひもは箱に戻さない．$1$回ごとに，取り出した$3$本のひもを$3$辺とする三角形が作られるかどうかを調べるとき，$2$回目で初めて三角形が作られる確率は$\boxed{\text{オ}}$であり，$3$回の取り出しを終えて少なくとも$1$つの三角形が作られている確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(2,3)\text{，}\mathrm{B}(-3,2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．実数$m\text{，}n$が$m+n=5$$\text{（}1\leqq m\leqq 3\text{）}$を満たすとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最大値は$\boxed{\text{キ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)=x^3+x^2+ax$があり，方程式$f(x)=0$は異なる$3$つの実数解を持つ．このとき，実数$a$の範囲は$\boxed{\text{ケ}}$である．さらに，$f(x)$の極大値と極小値の和が${\displaystyle \frac{22}{27}}$より小さいとき，$a$の範囲は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$2$つの正の実数$k\text{，}m$に対して，放物線$C:y=x^2-kx$と，原点$\mathrm{O}$を通る傾き$2m$の直線$l$がある．$\mathrm{O}$における$C$の接線$l_1$は$l$と垂直である．$C$と$l$の$\mathrm{O}$以外の交点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l_2$とする．

(1)　$k$を$m$で表せ．また，$\mathrm{A}$の座標を$m$で表せ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた部分の面積$S$を$m$で表せ．

(3)　(2)の$S$が最小となるときの$m$の値，および$S$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，$l_1$と$l_2$の交点の座標を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は次の関係を満たす．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}=2n+3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とするとき，$S_n$を$n$で表せ．

(4)　$S_n>{\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たす最小の$n$を求めよ．